Question

在光滑絕緣的水平桌面上，有兩個(gè)質(zhì)量均為m，電量為+q的完全相同的帶電粒子P₁和P₂，在小孔A處以初速度為零先后釋放．在平行板間距為d的勻強(qiáng)電場(chǎng)中加速后，P₁從C處對(duì)著圓心進(jìn)入半徑為R的固定圓筒中（筒壁上的小孔C只能容一個(gè)粒子通過(guò)），圓筒內(nèi)有垂直水平面向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．P₁每次與筒壁發(fā)生碰撞均無(wú)電荷遷移，P₁進(jìn)入磁場(chǎng)第一次與筒壁碰撞點(diǎn)為D，∠COD=θ，如圖所示．延后釋放的P₂，將第一次欲逃逸出圓筒的P₁正碰圓筒內(nèi)，此次碰撞剛結(jié)束，立即改變平行板間的電壓，并利用P₂與P₁之后的碰撞，將P₁限制在圓筒內(nèi)運(yùn)動(dòng)．碰撞過(guò)程均無(wú)機(jī)械能損失．設(shè)d=

5

8

πR，求：在P₂和P₁相鄰兩次碰撞時(shí)間間隔內(nèi)，粒子P₁與筒壁的可能碰撞次數(shù)．
附：部分三角函數(shù)值

φ	2π 5	π 3	π 4	π 5	π 6	π 7	π 8	π 9	π 10
tanφ	3.08	1.73	1.00	0.73	0.58	0.48	0.41	0.36	0.32

Answer 1

分析：P₂與欲逃逸出圓筒的P₁正碰圓筒內(nèi)，兩粒子碰撞應(yīng)當(dāng)在C點(diǎn)．碰撞過(guò)程均無(wú)機(jī)械能損失，碰后兩粒子以原速率返回．P₁第一與圓筒碰撞在D點(diǎn)，由幾何知識(shí)，可求出軌跡半徑和C到D的時(shí)間，運(yùn)用歸納法求出在P₂和P₁相鄰兩次碰撞時(shí)間間隔內(nèi)，粒子P₁與筒壁的可能碰撞次數(shù)．

解答：解：粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

，
    由幾何知識(shí)，得半徑r=Rtan

θ

2

=

mv

qB

      從C到D的時(shí)間t_CD=

π-θ

2π

T
     P₁、P₂每次碰撞都應(yīng)當(dāng)在C點(diǎn)．
    設(shè)P₁在圓筒內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)了n圈和筒壁碰撞了K次后與P₂相碰于C點(diǎn)，則K+1=

2πn

θ

    所以兩粒子每次碰撞的時(shí)間間隔t=t_CD（K+1）=

2πm

qB

?

π-θ

2π

(k+1)=

m(π- 2πn k+1 )

qB

(k+1)
    在t 時(shí)間內(nèi)，P₂向左運(yùn)動(dòng)x再回到C，平均速度為

v

2

              t=2

x

v 2

=

4x

v

≤

4d

v

=

5πR

2v

    由上述兩式可得，

5πR

2v

≥

m(π- 2πn k+1 )

qB

(k+1)
           （k+1）

mv

qB

(1-

2n

k+1

)≤

5

2

R
            tan

nπ

k+1

(k+1-2n)≤

5

2

     當(dāng) n=1，K=2、3、4、5、6、7 時(shí)符合條件，K=1、8、9…不符合條件
     當(dāng) n=2，3，4…．時(shí)，無(wú)論K等于多少，均不符合條件．
答：在P₂和P₁相鄰兩次碰撞時(shí)間間隔內(nèi)，粒子P₁與筒壁的可能碰撞次數(shù)為2、3、4、5、6、7．

點(diǎn)評(píng)：歸納法在高中物理中經(jīng)常用到的方法．不能認(rèn)為帶電粒子在磁場(chǎng)中每轉(zhuǎn)一圈兩粒子就碰撞一次．