Question

為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為37°、長(zhǎng)為l=2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個(gè)軌道除 AB 段以外都是光滑的．其AB 與BC 軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個(gè)小物塊以初速度v₀=4.0m/s從某一高處水平拋出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向恰好沿 AB 方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動(dòng)摩擦因數(shù) μ=0.50．（g=10m/s²、sin37°=0.60、cos37°=0.80）
（1）求小物塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度．
（2）要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）由題意可知物體平拋運(yùn)動(dòng)過程的末速度方向，則由運(yùn)動(dòng)的合成與分解可求得合速度；
（2）物體能通過最高點(diǎn)，則應(yīng)保證重力充當(dāng)向心力，由臨界條件可求得最高點(diǎn)的速度，則由動(dòng)能定理可求得圓弧半徑的條件；
（3）要使物體能回到AB段中，小球應(yīng)無法通過最高點(diǎn)，則由動(dòng)能定理可求得臨界半徑，則可求得豎直圓軌道的半徑條件．

解答：解：（1）小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，
經(jīng)時(shí)間 t 到達(dá)A處時(shí)，
令下落的高度為h，
水平分速度v₀，
豎直速度為v_y，
小物塊恰好沿斜面AB方向滑下，
則tan37°=

vy

v0

得v_y=3 m/s，
所以小物塊到A點(diǎn)的速度為5m/s．
（2）物體落在斜面上后，
受到斜面的摩擦力
F _f=μF_N=μmgcos37°
設(shè)物塊進(jìn)入圓軌道到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)有最小速度v₁，
此時(shí)物塊受到的重力恰好提供向心力，
令此時(shí)的半徑為 R₀，
則mg=

mv12

R0

物塊從拋出到圓軌道最高點(diǎn)的過程中，
根據(jù)動(dòng)能定理有：
mg（h+lsin37°-2R₀）-μmgcos37°?l=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²．
聯(lián)立上式，
解得R₀=0.66m，
若物塊從水平軌道DE滑出，
圓弧軌道的半徑滿足 
R₁≤0.66m．
（3）為了讓小物塊不離開軌道，
并且能夠滑回傾斜軌道 AB，
則物塊上升的高度須小于或等于某個(gè)值R，
則 mg（h+lsin37°）-μmgcos37°?l-mgR=0-

1

2

mv₀²
解得R=1.65m
物塊能夠滑回傾斜軌道 AB，
則 R₂≥1.65m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件及動(dòng)能定理的應(yīng)用，要求學(xué)生能明確本題的物理過程，并能分段應(yīng)用所學(xué)物理規(guī)律求解；同時(shí)注意對(duì)題意的把握．