Question

12．一個彈珠游戲簡化如圖所示．豎直安裝在高H=1m的桌面上的“過山車”軌道模型，水平軌道OB粗糙，長為1m，BD光滑；光滑圓軌道半徑為R=0.4m．一彈簧左端固定，右端自由伸長到A點，OA長為0.1m．距桌子右邊緣線DF距離S=1.6m有一高度h=0.8m的豎直擋板．現(xiàn)在A點靜止放置一個質(zhì)量m=1kg的小球，并用力緩慢向左把小球推到O點，在這個過程中推力做功W=22.4J．已知小球與軌道OB的摩擦因數(shù)μ為0.4，重力加速度g=10m/s²，不計空氣阻力．求：
（1）小球推到O點時，彈簧的彈性勢能E_P．
（2）該小球從O點靜止釋放后，運動到圓軌道最高點C時對軌道的壓力大小．
（3）為了使都從O點靜止釋放的小球能落在DF和擋板之間，小球的質(zhì)量m滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）對向左推小球過程分析，根據(jù)功能關系即可求得彈簧的彈性勢能；
（2）對OC過程分析，根據(jù)動能定理可求得小球到達C點的速度，再根據(jù)向心力公式即可求得對軌道的壓力；
（3）對小球運動過程分析，明確小球落在DF和擋板之間的條件，再根據(jù)動能定理和平拋運動規(guī)律即可求得小球質(zhì)量應滿足的條件．

解答 解：（1）根據(jù)功能關系可知，
W=μmgx_AO+E_P
解得：E_P=22J；
（2）研究O到C過程：由能量守恒可得：
E_P-μmgx_OB-mg2R=$\frac{1}{2}$mv_C²
小球到C點時mg+F_N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F_N=40N
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)�軌道的壓力�?0N；
（3）①小球從O點恰好到達C點：
E_P-μmgx_OB-mg2R=$\frac{1}{2}$mv_cm²
物體恰好通過最高點的臨界值為：
mg=m$\frac{{v}_{cm}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：m=$\frac{11}{7}$kg
②小球恰能夠過擋板最高點
則有：E_P-μmgx_OB=$\frac{1}{2}$mv_D²
根據(jù)平拋運動規(guī)律可知：
水平方向s=v_Dt
豎直方向H-h=$\frac{1}{2}$gt²
聯(lián)立解得：
v_D=$\frac{s}{\sqrt{\frac{2（H-h）}{g}}}$
聯(lián)立解得：m=$\frac{11}{18}$kg
因此小球的質(zhì)量滿足$\frac{11}{18}$kg＜m＜$\frac{11}{7}$kg
答：（1）小球推到O點時，彈簧的彈性勢能E_P為22J
（2）該小球從O點靜止釋放后，運動到圓軌道最高點C時對軌道的壓力大小為40N；
（3）為了使都從O點靜止釋放的小球能落在DF和擋板之間，小球的質(zhì)量m滿足的條件為$\frac{11}{18}$kg＜m＜$\frac{11}{7}$kg

點評 本題考查動能定理、向心力公式以及平拋運動的規(guī)律，要注意正確分析物理過程，明確小球恰好通過最高點的臨界條件，明確功能關系的正確應用即可求解．