Question

17．如圖所示，光滑斜面AB與光滑豎直圓弧軌道BCD在B點平滑連接，質(zhì)量為m的小物塊從斜面上A點由靜止釋放并滑下，經(jīng)圓弧軌道最低點C后能沿軌道通過最高點D，此時對D點的壓力恰好等于其重力．重力加速度為g，不計空氣阻力．求：
（1）物塊運動到最低點D時的速度大小大��；
（2）物塊運動到最低點C時對軌道的壓力大小；
（3）A、C的高度差h與圓弧軌道半徑R的比值．

Answer 1

分析 （1）物塊在D點時，由合力提供向心力，由向心力的公式可以求得在D點的速度大�。�
（2）從C到D的過程中，物體的機械能守恒，由此求出物塊通過C點的速度．在C點時，對物體受力分析，重力和支持力的合力作為向心力，由向心力的公式可以求得小球受得支持力的大小，再由牛頓第三定律可以得到物塊對軌道壓力的大�。�
（3）從A到D的過程中，物體的機械能守恒，從而可以求得小球釋放時離最低點的高度h，得到高度差h與圓弧軌道半徑R的比值．

解答 解：
（1）物塊在D點時，由合力提供向心力，則有
   F_ND+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
據(jù)題有 F_ND=mg
解得  v_D=$\sqrt{2gR}$                   
（2）物塊在C點時，由牛頓第二定律有：
F_NC-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
從C到D的過程，由機械能守恒定律有：
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+mg•2R
聯(lián)立解得 F_NC=7mg
聯(lián)立上式并根據(jù)牛頓第三定律知  物塊運動到最低點C時對軌道的壓力   F_NC′=F_NC=7mg
（3）由A到C，根據(jù)機械能守恒定律知：
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$         
在C點，由牛頓第二定律有：F_NC-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立得 $\frac{h}{R}$=3
答：
（1）物塊運動到最低點D時的速度大小是$\sqrt{2gR}$；
（2）物塊運動到最低點C時對軌道的壓力大小是7mg；
（3）A、C的高度差h與圓弧軌道半徑R的比值是3．

點評 此題考查圓周運動和機械能守恒定律的應(yīng)用，注意分析清楚各部分的運動特點，恰當選取運動過程和位置進行分析，然后采用相應(yīng)的規(guī)律求解即可．