如圖所示,AB是傾角為θ的粗糙直軌道,BCD是光滑的圓弧軌道,AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切,圓弧的半徑為R.一個(gè)質(zhì)量為m的物體(可以看作質(zhì)點(diǎn))從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放,結(jié)果它能在兩軌道間做往返運(yùn)動(dòng).已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高,物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.求:
(1)物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的總路程;
(2)最終當(dāng)物體通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí),對(duì)圓弧軌道的壓力;
(3)為使物體能順利到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)D,釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L′應(yīng)滿足什么條件.
解析:(1)因?yàn)槟Σ潦冀K對(duì)物體做負(fù)功,所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復(fù)運(yùn)動(dòng).
對(duì)整體過(guò)程由動(dòng)能定理得:mgR·cos θ-μmgcos θ·s=0,所以總路程為s=.
(2)對(duì)B→E過(guò)程mgR(1-cos θ)=mv①
FN-mg=②
由①②得對(duì)軌道壓力:FN=(3-2cos θ)mg.
(3)設(shè)物體剛好到D點(diǎn),則mg=③
對(duì)全過(guò)程由動(dòng)能定理得:mgL′sin θ-μmgcos θ·L′-mgR(1+cos θ)=mv④
由③④得應(yīng)滿足條件:L′=·R.
答案:(1) (2)(3-2cos θ)mg。3)·R
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