Question

9．如圖所示，圓心在原點、半徑為R的圓將xOy平面分為兩個區(qū)域，在圓內(nèi)區(qū)域Ⅰ（r≤R）和圓外區(qū)域Ⅱ（r＞R）的第一、二象限分別存在兩個勻強磁場，方向均垂直于xOy平面．垂直于xOy平面放置兩塊平面熒光屏，其中熒光屏甲平行于y軸放置在x=2.6R的位置，熒光屏乙平行于x軸放置在y=3.5R的位置．現(xiàn)有一束質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子由靜止經(jīng)過加速電壓為U的加速電場后從坐標(biāo)為（0，-R）的A點沿y軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，最終打在熒光屏甲上，出現(xiàn)亮點N的坐標(biāo)為（2.6R，0.8R）．若撤去圓外磁場，粒子也打在熒光屏甲上，出現(xiàn)亮點M的坐標(biāo)為（2.6R，0），此時，若將熒光屏甲沿x軸正方向平移，發(fā)現(xiàn)亮點的y軸坐標(biāo)始終保持不變．不計粒子重力影響．
（1）求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運動速度v₁、v₂的大��；
（2）求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中磁感應(yīng)強度B₁、B₂的大小和方向；
（3）若加速電壓變?yōu)?U，且上述兩個磁場方向均反向，熒光屏仍在初速位置，求粒子到達熒光屏的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中受到洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，洛倫茲力始終與速度相垂直，因此洛倫茲力不做功，所以動能不變，根據(jù)動能定理可求得粒子的速度；
（2）根據(jù)帶電粒子在磁場中運動，由左手定則可判定洛倫茲力方向．從而可根據(jù)運動軌跡來確定洛倫茲力的方向，最終能得出磁感應(yīng)強度大小與方向．當(dāng)粒子垂直射入勻強電場時，粒子做類平拋運動，從而利用平拋運動規(guī)律來解題．

解答 解：（1）粒子在磁場中運動時洛倫茲力不做功，打在M點和N點的粒子動能均為不變；速度v₁、v₂大小相等，設(shè)為v，由Uq=$\frac{1}{2}$mv²
可得 v=$\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$
（2）如圖所示，區(qū)域Ⅱ中無磁場時，粒子在區(qū)域Ⅰ中運動四分之一圓周后，從C點沿y軸負(fù)方向打在M點，軌跡圓心是o₁點，半徑為r₁=R
區(qū)域Ⅱ有磁場時，粒子軌跡圓心是O₂點，半徑為r₂，
由幾何關(guān)系得r₂²=（1.2R）²+（r₂-0.4R）²
解得r₂=2R
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得
B=$\frac{mv}{qr}$
則入半徑可知，B₁=$\frac{\sqrt{2mUq}}{qR}$，方向垂直xoy平面向外．
B₂=$\frac{\sqrt{2mUq}}{2qR}$，方向垂直xoy平面向里．
（3）如圖所示，粒子先在區(qū)域Ⅰ中做圓周運動．由3qU=$\frac{1}{2}$mv'²
可知，運動速度為  v'=$\sqrt{\frac{6qU}{m}}$=$\sqrt{3v}$       
軌道半徑為r₃=$\frac{mv'}{q{B}_{1}}$=$\sqrt{3}\frac{mv}{q{B}_{1}}$=$\sqrt{3}$R     
由圓心O₃的坐標(biāo)（$-\sqrt{3}$R，-R）可知，O₃A與O₃O的夾角為30°．通過分析如圖的幾何關(guān)系，粒子從D點穿出區(qū)域Ⅰ的速度方向與x軸正方向的夾角為θ=60°
粒子進入?yún)^(qū)域Ⅱ后做圓周運動的半徑為
r4=$\frac{mv'}{q{B}_{2}}$=2$\sqrt{3}$$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=2$\sqrt{3}$R
其圓心O4的坐標(biāo)為（r₄sin30°-Rsin60°，Rcos60°+r₄cos30°），
即（$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，$\frac{7R}{2}$）
說明圓心O₄恰好在熒光屏乙上．所以，亮點將垂直打在熒光屏乙上的P點，
其x軸坐標(biāo)為x=-（r₄-$\frac{\sqrt{3}}{2}$R）=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R
其y軸坐標(biāo)為x=3.5R．
答：（1）在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運動速度v₁、v₂的大小均為$\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$；
（2）B₁為$\frac{\sqrt{2mUq}}{qR}$，方向垂直xoy平面向外．B₂為$\frac{\sqrt{2mUq}}{2qR}$，方向垂直xoy平面向里．
（3）若加速電壓變?yōu)?U，且上述兩個磁場方向均反向，熒光屏仍在初速位置，粒子到達熒光屏的位置坐標(biāo)為3.5R．

點評 本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運動規(guī)律，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，處理時注意：定圓心、畫軌跡、求半徑；而在電場中做類平拋運動，處理時：電場強度方向做勻加速直線運動，垂直電場強度方向做勻速直線運動．