Question

10．小劉冋學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的游樂模型，豎直高度為R的豎立圓筒軌道銜接一個(gè)半徑為2R的四分之一圓型內(nèi)軌，在圓筒的底部安裝有由高強(qiáng)度彈簧構(gòu)成的彈射裝置，此裝置在很短的時(shí)間內(nèi)能把安全囊（包括在里面的游人）以一定的速度彈出，使安全囊從圓內(nèi)軌最高點(diǎn)P水平飛出，接著飛入如圖所示的緩沖裝置，安全囊質(zhì)量為m （當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)），將緩沖裝罝的縱截面看作是兩個(gè)斜面AB、CD和一段光滑圓弧BC組成，安全囊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25，兩斜面傾角θ為37°．AB=CD=2R，A、D等高，D端固定一小擋板，與其碰撞不損失機(jī)械能．安全囊始終在同一個(gè)豎平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．利用來回運(yùn)動(dòng)使其減速，重力加速度為g，圓筒軌道和圓型內(nèi)軌均不計(jì)摩擦．
（1）如果安全囊恰好能經(jīng)P點(diǎn)飛出，且恰好沿AB斜面進(jìn)入緩沖裝置，應(yīng)調(diào)節(jié)緩沖裝置底部支架高度使斜面的A、D點(diǎn)離地高為多少？
（2）接（1）問，假設(shè)高強(qiáng)度彈簧構(gòu)成的彈射裝置行程很小，可以認(rèn)為零，即安全囊離開地面時(shí)的起點(diǎn)高度近似為零，則彈射裝置至少需要具有多少彈性勢(shì)能？
（3）接（1）問，求安全囊在緩沖裝置斜面AB和CD上通過的總路程．

Answer 1

分析 （1）在P點(diǎn)安全囊只受到重力的作用，重力恰好提供向心力，由此求出P點(diǎn)的速度；安全囊到達(dá)A時(shí)速度的方向沿沿AB的方向，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解求出豎直方向的分速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式與幾何關(guān)系即可求出A的高度；
（2）根據(jù)在P點(diǎn)安全囊的機(jī)械能，結(jié)合機(jī)械能守恒定律即可求出彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）由速度的合成與分解求出安全囊到達(dá)A點(diǎn)的速度，再由功能關(guān)系即可求出總路程．

解答 解：（1）在P點(diǎn)安全囊只受到重力的作用，重力恰好提供向心力，則：
mg=$\frac{m{v}_{P}^{2}}{2R}$
得P點(diǎn)的速度：${v}_{p}=\sqrt{2gR}$
安全囊到達(dá)A時(shí)速度的方向沿沿AB的方向，則：${v}_{y}={v}_{p}tanθ=0.75\sqrt{2gR}$
所以A、D點(diǎn)距離對(duì)面的高度：h=3R-$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{39}{16}R$；
（2）在P點(diǎn)安全囊的機(jī)械能為：E=E_P+E_K=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}+mg•3R$=4mgR
由機(jī)械能守恒定律即知彈簧的彈性勢(shì)能：E_彈=4mgR
（3）安全囊到達(dá)A點(diǎn)的速度：${v}_{A}=\frac{{v}_{P}}{cosθ}=\frac{\sqrt{2gR}}{cos37°}=\frac{5}{4}\sqrt{2gR}$
假設(shè)經(jīng)過一個(gè)來回能到達(dá)A，則：${E}_{kA}′=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-μmgcosθ•8R$
代入數(shù)據(jù)可知：E_kA′＜0，顯然安全囊不能到達(dá)A點(diǎn)．
設(shè)安全囊在AB、CD之間的總路程為s，由功能關(guān)系得：$mg•2Rsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}=μmgcosθ$
代入數(shù)據(jù)得：s=$\frac{221}{16}R$
答：（1）如果安全囊恰好能經(jīng)P點(diǎn)飛出，應(yīng)調(diào)節(jié)緩沖裝置底部支架高度使斜面的A、D點(diǎn)離地高為$\frac{39}{16}R$；
（2）彈射裝置至少需要具有的彈性勢(shì)能是4mgR；
（3）安全囊在緩沖裝置斜面AB和CD上通過的總路程是$\frac{221}{16}R$．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及的過程比較多，主要考查運(yùn)動(dòng)的合成與分解、機(jī)械能守恒與功能關(guān)系，解答的關(guān)鍵是正確把握各小問對(duì)應(yīng)的過程與狀態(tài)．