Question

（20分）如圖所示，在水平桌面上放有長木板，上右端是固定擋板，在上左端和中點處各放有小物塊和，、的尺寸以及的厚度皆可忽略不計，、之間和、之間的距離皆為。設(shè)木板與桌面之間無摩擦，、之間和、之間的靜摩擦因數(shù)及滑動摩擦因數(shù)均為；、、（連同擋板）的質(zhì)量相同．開始時，和靜止，以某一初速度向右運動．試問下列情況是否能發(fā)生？要求定量求出能發(fā)生這些情況時物塊的初速度應(yīng)滿足的條件，或定量說明不能發(fā)生的理由．

（1）物塊與發(fā)生碰撞；

（2）物塊與發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與擋板發(fā)生碰撞；

（3）物塊與擋板發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與在木板上再發(fā)生碰撞；

（4）物塊從木板上掉下來；

（5）物塊從木板上掉下來。

Answer 1

解析：

1. 以表示物塊、和木板的質(zhì)量，當(dāng)物塊以初速向右運動時，物塊受到木板施加的大小為的滑動摩擦力而減速，木板則受到物塊施加的大小為的滑動摩擦力和物塊施加的大小為的摩擦力而做加速運動，物塊則因受木板施加的摩擦力作用而加速，設(shè)、、三者的加速度分別為、和，則由牛頓第二定律，有

           

           

           

事實上在此題中，，即、之間無相對運動，這是因為當(dāng)時，由上式可得

                                                         （1）

它小于最大靜摩擦力．可見靜摩擦力使物塊、木板之間不發(fā)生相對運動。若物塊剛好與物塊不發(fā)生碰撞，則物塊運動到物塊所在處時，與的速度大小相等．因為物塊與木板的速度相等，所以此時三者的速度均相同，設(shè)為，由動量守恒定律得

                                                         （2）

在此過程中，設(shè)木板運動的路程為，則物塊運動的路程為，如圖所示．由動能定理有

      （3）

                （4）

或者說，在此過程中整個系統(tǒng)動能的改變等于系統(tǒng)內(nèi)部相互間的滑動摩擦力做功的代數(shù)和（（3）與（4）式等號兩邊相加），即

                                           （5）

式中就是物塊相對木板運動的路程．解（2）、（5）式，得

                                                        （6）

即物塊的初速度時，剛好不與發(fā)生碰撞，若，則將與發(fā)生碰撞，故與發(fā)生碰撞的條件是

                                                        （7）

2. 當(dāng)物塊的初速度滿足（7）式時，與將發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞的瞬間，、、三者的速度分別為、和，則有

                                                  （8）

在物塊、發(fā)生碰撞的極短時間內(nèi)，木板對它們的摩擦力的沖量非常小，可忽略不計。故在碰撞過程中，與構(gòu)成的系統(tǒng)的動量守恒，而木板的速度保持不變．因為物塊、間的碰撞是彈性的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，又因為質(zhì)量相等，由動量守恒和機(jī)械能守恒可以證明（證明從略），碰撞前后、交換速度，若碰撞剛結(jié)束時，、、三者的速度分別為、和，則有

              

由（8）、（9）式可知，物塊與木板速度相等，保持相對靜止，而相對于、向右運動，以后發(fā)生的過程相當(dāng)于第1問中所進(jìn)行的延續(xù)，由物塊替換繼續(xù)向右運動。

若物塊剛好與擋板不發(fā)生碰撞，則物塊以速度從板板的中點運動到擋板所在處時，與的速度相等．因與的速度大小是相等的，故、、三者的速度相等，設(shè)此時三者的速度為．根據(jù)動量守恒定律有

                                                     （10）

以初速度開始運動，接著與發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后物塊相對木板靜止，到達(dá)所在處這一整個過程中，先是相對運動的路程為，接著是相對運動的路程為，整個系統(tǒng)動能的改變，類似于上面第1問解答中（5）式的說法．等于系統(tǒng)內(nèi)部相互問的滑動摩擦力做功的代數(shù)和，即

                                    （11）

解（10）、（11）兩式得

                                                        （12）

即物塊的初速度時，與碰撞，但與剛好不發(fā)生碰撞，若，就能使與發(fā)生碰撞，故與碰撞后，物塊與擋板發(fā)生碰撞的條件是

                                                        （13）

3. 若物塊的初速度滿足條件（13）式，則在、發(fā)生碰撞后，將與擋板發(fā)生碰撞，設(shè)在碰撞前瞬間，、、三者的速度分別為、和，則有

                                                 （14）

與碰撞后的瞬間，、、三者的速度分別為、和，則仍類似于第2問解答中（9）的道理，有

                                        （15）

由（14）、（15）式可知與剛碰撞后，物塊與的速度相等，都小于木板的速度，即

                                                    （16）

在以后的運動過程中，木板以較大的加速度向右做減速運動，而物塊和以相同的較小的加速度向右做加速運動，加速度的大小分別為

                                              （17）

加速過程將持續(xù)到或者和與的速度相同，三者以相同速度向右做勻速運動，或者木塊從木板上掉了下來。因此物塊與在木板上不可能再發(fā)生碰撞。

4. 若恰好沒從木板上掉下來，即到達(dá)的左端時的速度變?yōu)榕c相同，這時三者的速度皆相同，以表示，由動量守恒有

                                                     （18）

從以初速度在木板的左端開始運動，經(jīng)過與相碰，直到剛沒從木板的左端掉下來，這一整個過程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是相對的路程為；接著相對運動的路程也是；與碰后直到剛沒從木板上掉下來，與相對運動的路程也皆為．整個系統(tǒng)動能的改變應(yīng)等于內(nèi)部相互間的滑動摩擦力做功的代數(shù)和，即

                                        （19）

由（18）、（19）兩式，得

                                                       （20）

即當(dāng)物塊的初速度時，剛好不會從木板上掉下．若，則將從木板上掉下，故從上掉下的條件是

                                                        （21）

5. 若物塊的初速度滿足條件（21）式，則將從木板上掉下來，設(shè)剛要從木板上掉下來時，、、三者的速度分別為、和，則有

                                               （22）

這時（18）式應(yīng)改寫為

                                                （23）

（19）式應(yīng)改寫為

                        （24）

當(dāng)物塊從木板上掉下來后，若物塊剛好不會從木板上掉下，即當(dāng)的左端趕上時，與的速度相等．設(shè)此速度為，則對、這一系統(tǒng)來說，由動量守恒定律，有

                                                （25）

在此過程中，對這一系統(tǒng)來說，滑動摩擦力做功的代數(shù)和為，由動能定理可得

                             （26）

由（23）、（24）、（25）、（26）式可得

                                                        （27）

即當(dāng)時，物塊剛好不能從木板上掉下。若，則將從木板上掉下，故物塊從木板上掉下來的條件是

                                                       （28）