Question

一條寬度為L的河流，水流速度為v_水，已知船在靜水中的速度為v_船，那么：

（1）怎樣渡河時(shí)間最短？

（2）若v_船＞v_水，怎樣渡河位移最小？

Answer 1

思路點(diǎn)撥：小船在有一定流速的水中過河時(shí)，實(shí)際上參與了兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，即隨水流的運(yùn)動(dòng)（水沖船的運(yùn)動(dòng)）和船相對于水的運(yùn)動(dòng)（即在靜水中的船的運(yùn)動(dòng)），船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng).

解析：（1）如圖5-1-9所示，設(shè)船頭斜向上游與河岸成任意角θ，這時(shí)船速在垂直于河岸方向的速度分量為v₁=v_船sinθ，

圖5-1-9

渡河所需時(shí)間t==

可以看出：L、v_船一定時(shí)，t隨sinθ增大而減��；當(dāng)θ=90°時(shí)，sinθ=1（最大）.所以，船頭與河岸垂直,t_min=Lv_船.

（2）如圖5-1-10所示，渡河的最小位移即為河的寬度.為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，這時(shí)船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ.根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系有v_船cosθ-v_水=0

圖5-1-10

cosθ=，即：θ=arccos

因?yàn)?≤cosθ≤1，所以只有在v_船＞v_水時(shí)，船才有可能垂直河岸橫渡.

答案：（1）速度與河岸垂直

（2）船速與河岸夾角為arccos，且指向上游.