Question

16．2007年10月24日18時5分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征三號甲”運載火箭將“嫦娥一號”衛(wèi)星成功送入太空．“嫦娥一號”繞月探測飛行將完成四大科學探測任務獲取月球全表現(xiàn)三維圖象；分析月球表面化學元素和物質類型的含量和分布；探測月壤特性；探測4萬至40萬公里間地月空間環(huán)境．現(xiàn)已知地球自轉周期為T₀，月球半徑R，衛(wèi)星距離月球高度h，月球表面重力加速度為g，萬有引力常量G．下列說法中正確的是（　�。�

• A． “嫦娥一號”衛(wèi)星繞月球運行的速率v=$\sqrt{g（R+h）}$
• B． “嫦娥一號”衛(wèi)星和地球的角速度之比為$\frac{{T}_{0}}{2π}$$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
• C． 利用以上數(shù)據(jù)可以求出月球的質量
• D． 月球的密度ρ=$\frac{3Gg}{4πR}$

Answer 1

分析 由題意可知，可以求出衛(wèi)星的軌道半徑，衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，由月球的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出“嫦娥一號”的線速度與角速度；然后結合密度公式分析能否求出月球的質量和密度．根據(jù)月球對衛(wèi)星的萬有引力等于衛(wèi)星的重力，得到月球表面的重力加速度．

解答 解：設該衛(wèi)星的運行周期為T、質量為m，月球的半徑為R、質量為M，衛(wèi)星距月球表面的高度為h，由題意知，衛(wèi)星的軌道半徑r=R+h，
“嫦娥一號”衛(wèi)星在月球表面受到的吸引力：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$，所以，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
A、衛(wèi)星繞月球做圓周運動，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
所以：v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．故A錯誤；
B、衛(wèi)星繞月球做圓周運動，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=mω²（R+h）
所以：ω=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
地球自轉的角速度：$ω′=\frac{2π}{{T}_{0}}$
所以“嫦娥一號”衛(wèi)星和地球的角速度之比為$\frac{{T}_{0}}{2π}$$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$．故B正確；
C、衛(wèi)星繞月球做圓周運動，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
則月球質量M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，故C正確；
D、月球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，故D錯誤；
故選：BC

點評 已知衛(wèi)星的運行周期和軌道半徑，可求出月球的質量，這個結果可推廣到行星繞太陽：若已知行星的公轉半徑和周期，可求出太陽的質量．