Question

10．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，地球同步衛(wèi)星周期為T₀．另有一顆軌道在赤道平面內(nèi)繞地球自西向東運(yùn)行的衛(wèi)星，某時(shí)刻該衛(wèi)星能觀察到的赤道弧長最大為赤道周長的$\frac{1}{3}$．求：
（1）該衛(wèi)星的周期．
（2）該衛(wèi)星與地球同步衛(wèi)星相鄰兩次經(jīng)過地球赤道上同一點(diǎn)的正上空所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力列出等式求解．
（2）衛(wèi)星相鄰兩次經(jīng)過地球赤道上某點(diǎn)的上空轉(zhuǎn)過的角度之差為2π，由幾何關(guān)系列出等式求解．

解答 解：（1）該衛(wèi)星所觀察地球赤道弧長為赤道周長的三分之一，
該圓弧對應(yīng)的圓心角為120°，由幾何關(guān)系知該衛(wèi)星軌道半徑為r=2R；
地球表面的物體受到的重力等于萬有引力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
衛(wèi)星做圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（2R）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$•2R，
 解得：T=4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；
（2）設(shè)該衛(wèi)星相鄰兩次經(jīng)過地球赤道上某點(diǎn)的上空所需的時(shí)間為t，
則：（$\frac{2π}{T}$-$\frac{2π}{{T}_{0}}$）t=2π，解得：t=$\frac{4π{T}_{0}\sqrt{\frac{2R}{g}}}{{T}_{0}-4π\(zhòng)sqrt{\frac{2R}{g}}}$；
答：（1）該衛(wèi)星的周期為4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$．
（2）該衛(wèi)星與地球同步衛(wèi)星相鄰兩次經(jīng)過地球赤道上同一點(diǎn)的正上空所需的時(shí)間為$\frac{4π{T}_{0}\sqrt{\frac{2R}{g}}}{{T}_{0}-4π\(zhòng)sqrt{\frac{2R}{g}}}$．

點(diǎn)評 本題難度中等，明確衛(wèi)星相鄰兩次經(jīng)過地球赤道上某點(diǎn)的上空轉(zhuǎn)過的角度之差為2π，天體運(yùn)動實(shí)際還是圓周運(yùn)動，只是本類型題物理量較多，公式推導(dǎo)及其復(fù)雜．