Question

（2003?肇慶模擬）高能物理在現(xiàn)代高科技活動中具有廣泛的應用，如微觀粒子的研究、核能的生產(chǎn)等．粒子加速器是實現(xiàn)高能粒子的主要途徑．如圖所示為一環(huán)形粒子加速器的示意圖，圖中實線所示為環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的大小可調(diào)節(jié)的勻強磁場，質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子在環(huán)中做半徑為R的圓周運動．A、B為兩塊中心開有小孔的極板，原來電勢都為零，每當粒子飛經(jīng)A板時，A板的電勢升高為+U，B板電勢保持為零，粒子在電場中一次次被加速而動能不斷增大，但繞行半徑R始終保持不變．
（1）設t=0時，粒子靜止在A板小孔處，在電場作用下開始加速、并繞行一圈．求粒子繞行n圈回到A板時獲得的總動能？
（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運行，磁場必須周期性遞增，求粒繞行第n圈時，磁感應強度B_n應為多少？
（3）求粒子繞行n圈所需的總時間t（粒子通過A、B之間的時間不計）
（4）若粒子通過A、B的時間不可忽略不計，請在右面的坐標系中定性畫出A板電勢隨時間t變化的圖象（要求從t=0起到粒子第三次離開B板時止．不要求計算具體的時間）

Answer 1

分析：（1）由題意可知，每加速一次，粒子的能量增加qU，粒子繞行n圈，動能增加nqU，根據(jù)動能定理求解粒子繞行n圈回到A板時獲得的總動能；
（2）粒子的動能逐漸增加，速度就逐漸增加，由能量可表示出速度，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出第n圈時的磁感應強度B_n；．
（3）每圈的半徑?jīng)]有發(fā)生變化，由周長和每圈的速度即可求出每圈的時間，然后相累加，即可求得總時間t_n總．
（4）根據(jù)時間關系，畫出A板電勢隨時間t變化的圖象．

解答：解：（1）由動能定理可得：E_K=W=nqU
（2）由洛侖茲力公式和向心力公式可得：
  f=B_nqv
  f=m

v 2 n

R

則得B_nqv=m

v 2 n

R

由動能定理可得：m

v 2 n

2

=nqU
解得：B_n=

1

R

2nmU q

   
（3）由公式T=

2πR

v

=2π

m 2nqU

可得：t1=2πR

m 2qU

     tn=2πR

m 2nqU

=

1

n

t1
所以總時間：t=t₁+t₂+…+t_n=2πR

m 2qu

（1+

1

2

+…+

1

n

）
（4）A板電勢隨時間t變化的圖象如圖所示：
答：
（1）粒子繞行n圈回到A板時獲得的總動能為nqU．
（2）粒繞行第n圈時，磁感應強度B_n應為

1

R

2nmU q

．
（3）粒子繞行n圈所需的總時間t為2πR

m 2qu

（1+

1

2

+…+

1

n

）．
（4）A板電勢隨時間t變化的圖象如上圖所示．

點評：粒子加速器是利用磁場的偏轉(zhuǎn)，使電場能重復對粒子加速，粒子在加速器內(nèi)旋轉(zhuǎn)時半徑是不變化的，所以粒子加速器所加的磁場時要發(fā)生變化．速度越來越大，周期越來越�。�解決此類問題，常用到能量的轉(zhuǎn)化與守恒、粒子在勻強磁場中的運動半徑和周期公式．