Question

10．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，直徑為R的光滑半圓軌道和半徑為R的光滑四分之一圓軌道水平相切于最低點(diǎn)A，一個(gè)質(zhì)量為m可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，從A點(diǎn)沿切線向左以某一初速度進(jìn)入半圓軌道，恰好能通過(guò)半圓軌道的最高點(diǎn)M，然后，落在四分之一圓軌道上的N點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則下列說(shuō)法中正確的是（　�。�

• A． 小球運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)的加速度為g
• B． M點(diǎn)與N點(diǎn)間的高度差為$\frac{（\sqrt{5}-1）R}{2}$
• C． 小球的初速度大小為$\sqrt{\frac{2}{5}gR}$
• D． 小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為$\frac{（2\sqrt{5}+1）}{4}$mgR

Answer 1

分析 小球剛好通過(guò)M點(diǎn)，在M點(diǎn)重力提供向心力，求出M點(diǎn)速度，小球從M點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式結(jié)合幾何關(guān)系可求得M點(diǎn)與N點(diǎn)間的高度差．由動(dòng)能定理求小球的初速度和小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能．

解答 解：A、小球剛好通過(guò)M點(diǎn)，在M點(diǎn)只受重力，加速度為g，故A正確．
B、在M點(diǎn)由重力提供向心力，則有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{R}{2}}$，解得：v=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$．從A點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，則水平方向的位移為 x=vt，豎直方向的位移為 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
根據(jù)幾何關(guān)系有：x²+h²=R²，解得：M點(diǎn)與N點(diǎn)間的高度差為 h=$\frac{（\sqrt{5}-1）R}{2}$．故B正確．
C、從A到M點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：-mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，解得v₀=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$，故C錯(cuò)誤．
D、小球從M到N的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：mgh=E_KN-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得，小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為 E_KN=$\frac{2\sqrt{5}-1}{4}$mgR．故D錯(cuò)誤．
故選：AB

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要理清小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，明確M點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力．要熟練運(yùn)用分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何知識(shí)求平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和高度．