Question

【題目】如圖所示，兩塊平行極板AB、CD正對放置，極板CD的正中央有一小孔，兩極板間距離AD為d，板長AB為2d，兩極板間電勢差為U，在ABCD構(gòu)成的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)電場，電場方向水平向右。在ABCD矩形區(qū)域外有垂直于紙面向里的范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場。極板厚度不計，電場、磁場的交界處為理想邊界。將一個質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子在極板AB的正中央O點由靜止釋放。不計帶電粒子的重力。

(1)為了使帶電粒子能夠再次進(jìn)入勻強(qiáng)電場，且進(jìn)入電場時的速度方向與電場方向垂直，求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；

(2)通過分析說明帶電粒子第二次離開電場時的位置，并求出帶電粒子從O點開始運(yùn)動到第二次離開電場區(qū)域所經(jīng)歷的總時間；

(3)通過分析說明帶電粒子最后能否返回最初的出發(fā)點O，并畫出粒子運(yùn)動軌跡的示意圖。若能返回O點，試求出帶電粒子從O點開始運(yùn)動到最終返回O點所經(jīng)歷的總時間。

Answer 1

【答案】(1)；(2)從C點射出，； (3) ，

【解析】

(1)設(shè)帶電粒子經(jīng)過電場加速后，從極板CD正中央的小孔射出時的速度大小為v

帶電粒子第一次從電場中射出后，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，若能夠再進(jìn)入勻強(qiáng)電場，且進(jìn)入電場時的速度方向與電場方向垂直，運(yùn)動向改變，由此可知在場中的運(yùn)動軌跡為四分之三圓，圓心位于D點，半徑為d，由A點垂直射入電場，如圖：

帶電粒子在磁場中運(yùn)動時，洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓運(yùn)動定律得

解得

(2)帶電粒子由A點垂直于電場方向射入電場之后做類平拋運(yùn)動

若能夠射出電場，運(yùn)動時間

沿電場方向的位移

有

解得

因此帶電粒子恰能從C點射出。

帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)，運(yùn)動時間為，洛倫茲力充當(dāng)向心力

由牛頓第二定律得

解得

設(shè)帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)運(yùn)動時間為，有

帶電粒子第一次在電場中加速運(yùn)動時間也為，因此帶電粒子從O點運(yùn)動到C點的總時間

(3)帶電粒子第二次離開電場時的速度為

設(shè)粒子離開電場時的偏轉(zhuǎn)角度，則

解得

由此可知在磁場中的運(yùn)動軌跡為四分之三圓。

第二次在磁場中做圓周運(yùn)動的向心力由洛倫茲力提供，得

解得

粒子到達(dá)CD連時與C點的距離

因此帶電粒子恰能從D點射入電場。

根據(jù)對稱性可知，帶電粒子第三次離開電場的位置恰好是在B點，速度是v，方向與BC連垂直，然后以C點為圓心，半徑d做圓周運(yùn)動，從CD的中點第三次進(jìn)入電場，最終剛好返回O點。粒子運(yùn)動軌跡的示意圖如圖所示：

粒子從O點出發(fā)返回到O的過程中，四次進(jìn)出電場，三次在磁場中做四分之三的圓周運(yùn)動。帶電粒子運(yùn)動的總時間