Question

6．相距很近的平行板電容器AB，A、B兩板中心各開有一個小孔，如圖甲所示，靠近A板的小孔處有一電子槍，能夠持續(xù)均勻地發(fā)射出電子，電子的初速度為v₀，質(zhì)量為m，電量為e，在AB兩板之間加上如圖乙所示的交變電壓，其中U₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6e}$；緊靠B板的偏轉電場的電壓也等于U₀，上極板恒帶正電，板長為L，兩板間距為d，偏轉電場的中軸線（虛線）過A、B兩板中心，距偏轉極板右端$\frac{L}{2}$處垂直中軸線放置很大的熒光屏PQ．不計電子的重力和它們之間的相互作用，電子在電容器中的運動時間忽略不計．求：

（1）在0-$\frac{T}{2}$時間內(nèi)和$\frac{T}{2}$-T時間內(nèi)，由B板飛出的電子的速度各為多大；
（2）在0-T時間內(nèi)熒光屏上有兩個位置會發(fā)光，試求這兩個發(fā)光點之間的距離．（結果采用L、d表示）；
（3）以偏轉電場的中軸線為對稱軸，只調(diào)整偏轉電場極板的間距，要使熒光屏上只出現(xiàn)一個光點，極板間距應滿足什么要求．

Answer 1

分析 （1）應由動能定理可以求出電子的速度；
（2）在偏轉電場中，電子做類平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式得到偏轉距離，然后求出兩個發(fā)光點之間的距離；
（3）考慮到臨界條件，當極板間距為d′時，電子剛從偏轉極板邊緣飛出，熒光屏上只出現(xiàn)一個光點，由上題結果求出極板間距應滿足什么要求．

解答 解：（1）電子經(jīng)過電容器內(nèi)的加速電場后，設0-$\frac{T}{2}$時間內(nèi)，穿出B板后速度為ν₁，
由動能定理得：-eU₀=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₁=$\sqrt{\frac{2}{3}}$v₀；
在$\frac{T}{2}$-T 時間內(nèi)射出B板電子的速度ν₂，據(jù)動能定理有：
eU₀=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₂=$\sqrt{\frac{4}{3}}$v₀；
（2）電子以v₁的速度在偏轉電場中做類平拋，電子的運動時間：t₁=$\frac{L}{{v}_{1}}$，
側移量：y₁=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{e{U}_{0}}{md}$t₁²，
出極板時的末速度方向與水平方向夾角θ₁，有：tanθ₁=$\frac{a{t}_{1}}{{v}_{1}}$=$\frac{\frac{e{U}_{0}}{md}{t}_{1}}{{v}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}′}{\frac{L}{2}}$，
以v₂的速度在偏轉電場中做類平拋，電子的運動時間：t₂=$\frac{L}{{v}_{2}}$，
側移量：y₂=$\frac{1}{2}$at₂²=$\frac{1}{2}$$\frac{e{U}_{0}}{md}$t₂²，
出極板時的末速度方向與水平方向夾角θ₂，有：tanθ₂=$\frac{a{t}_{2}}{{v}_{2}}$=$\frac{\frac{e{U}_{0}}{md}{t}_{2}}{{v}_{2}}$=$\frac{{y}_{2}′}{\frac{L}{2}}$，
兩個發(fā)光點之間的距離：△y=（y₁+y₁′）-（y₂+y₂′），解得：△y=$\frac{{L}^{2}}{8d}$；
（3）只出現(xiàn)一個光點，則減小板間距讓一種速度的電子打在板上，設新的板間距為H，
則當速度v₁的電子打在極板上時：$\frac{H}{2}$=$\frac{1}{2}$$\frac{e{U}_{0}}{mH}$$（\frac{L}{{v}_{1}}）^{2}$，解得：H=$\frac{L}{2}$；
當速度v₂的電子打在極板上時：H=$\frac{L}{2\sqrt{2}}$，
所以間距應滿足的條件是：$\frac{L}{2\sqrt{2}}$＜H＜$\frac{L}{2}$；
答：（1）在0-$\frac{T}{2}$時間內(nèi)和$\frac{T}{2}$-T時間內(nèi)，由B板飛出的電子的速度分別為：$\sqrt{\frac{2}{3}}$v₀、$\sqrt{\frac{4}{3}}$v₀．
（2）在0-T時間內(nèi)熒光屏上有兩個位置會發(fā)光，這兩個發(fā)光點之間的距離為$\frac{{L}^{2}}{8d}$．
（3）要使熒光屏上只出現(xiàn)一個光點，極板間距應滿足的要求是：$\frac{L}{2\sqrt{2}}$＜H＜$\frac{L}{2}$．

點評 本題考查了電子在電場中的運動，電子在加速電場中做勻變速直線運動，在偏轉電場中做類平拋運動，利用帶電粒子在勻強電場中的類平拋運動及其相關知識列方程進行解答，關鍵要分析出臨界條件和隱含的條件．