Question

如圖所示（俯視)，MN和PQ是兩根 固定在同一水平面上的足夠長(zhǎng)且電阻不 計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間距為 L=0。2m,其間有一個(gè)方向垂直水平面豎直 向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁=5.0T。導(dǎo)軌上NQ之 間接一電阻R₁=0.4Ω,阻值為R₂=0.1Ω的 金屬桿垂直導(dǎo)軌放置并與導(dǎo)軌始終保持 良好接觸。兩導(dǎo)軌右端通過(guò)金屬導(dǎo)線分別 與電容器的兩極相連。電容器C極扳緊靠 準(zhǔn)直裝置b，b緊挨著帶小孔a (只能容一個(gè)粒子通過(guò)）的固定絕緣彈性圓筒。圓簡(jiǎn)壁光滑，簡(jiǎn)內(nèi)有垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng) B₂, O是圓筒的圓心，圓筒的內(nèi)半徑r=0.4m。

(1)  用一個(gè)方向平行于MN水平向左且功率恒定為P＝80W的外力F拉金屬桿，使桿從靜 止開始向左運(yùn)動(dòng).已知桿受到的摩掠阻力大小恒為F₁＝6N,求：當(dāng)金屬桿最終勻速運(yùn) 動(dòng)時(shí)桿的速度大��？

(2)  當(dāng)金屬桿處于(I)問(wèn)中的勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，電容器內(nèi)緊靠極板D處的一個(gè)帶正電的粒 子經(jīng)電場(chǎng)加速后從a孔垂直磁場(chǎng)B₂并正對(duì)著圓心O進(jìn)入圓筒，該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次后恰好又從小孔a射出圓筒。已知該帶電粒子每次與筒壁發(fā)生碰撞時(shí)電量和能量都不損失，不計(jì)粒子的初速度、重力和空氣阻力，粒子的比荷=5x10⁷(C/kg),求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小（結(jié)果可以用三角函數(shù)表示）?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

（1）金屬桿先做加速度變小的加速運(yùn)動(dòng)，最終以最大速度勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為，回路中的感應(yīng)電流為I，桿受到的安培力大小為F_A，則

①    

 ②     

 ③

聯(lián)立①、②、③將已知代入數(shù)據(jù)解得 ④

（2）設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)C兩極板間的電壓為U，帶電粒子進(jìn)入圓筒的速率為,在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由于C與電阻R₁并聯(lián)，據(jù)歐姆定律得    ⑤

據(jù)動(dòng)能定理，有       ⑥

帶電粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，⑦

聯(lián)立⑤、⑥、⑦得： ⑧

由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時(shí)無(wú)電量和能量損失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向，4個(gè)碰撞點(diǎn)與小孔a恰好將圓筒壁五等分，粒子在圓筒內(nèi)的軌跡具有對(duì)稱性，由5段相同的圓弧組成，設(shè)每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，則由幾何關(guān)系可得：  ⑨

有兩種情形符合題意（如圖所示）：

(i)情形1：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為聯(lián)立⑧、⑨并代入值得：  ⑩

將數(shù)據(jù)代入(9)式得： 

 (ii)情形2：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為   聯(lián)立⑧、⑨并代入θ值得：

代入數(shù)據(jù)，可得：

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題19分。（1）問(wèn)7分，①、②、③式各2分,④式1分；（2）問(wèn)10分，⑧式2分，⑤、⑥、⑦、⑨、⑩、、、式各1分