Question

12．若有一艘宇宙飛船在某一行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)行星半徑為R，其周期為T，引力常量為G，那么該行星的質(zhì)量是多少？平均密度為多少？

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于向心力，可以列式求解出行星的質(zhì)量，進(jìn)一步求出密度．

解答 解：飛船繞某一行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力等于向心力：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
所以：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
$V=\frac{4π{r}^{3}}{3}$，
$ρ=\frac{M}{V}$，
解得：
$ρ=\frac{3π}{G{T}^{2}}$．
答：該行星的質(zhì)量是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；平均密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題可歸結(jié)為一個(gè)結(jié)論：環(huán)繞行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其公轉(zhuǎn)周期平方與行星平均密度的乘積是一個(gè)定則，即ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$