Question

【題目】如圖甲為科技小組的同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)的一種靜電除塵裝置示意圖，其主要結(jié)構(gòu)有一長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為b，高為d的矩形通道，其前、后板使用絕緣材料，上、下板使用金屬材料，圖乙是該主要結(jié)構(gòu)的截面圖，上、下兩板與輸出電壓可調(diào)的高壓直流電源（內(nèi)電阻可忽略不計(jì)）相連，質(zhì)量為m、電荷量大小為q的分布均勻的帶負(fù)電的塵埃無(wú)初速度地進(jìn)入A、B兩極板間的加速電場(chǎng)。已知A、B兩極板間加速電壓為，塵埃加速后全都獲得相同的水平速度，此時(shí)單位體積內(nèi)的塵埃數(shù)為n。塵埃被加速后進(jìn)入矩形通道，當(dāng)塵埃碰到下極板后其所帶電荷被中和，同時(shí)塵埃被收集，通過(guò)調(diào)整高壓直流電源的輸出電壓U可以改變收集效率（被收集塵埃的數(shù)量與進(jìn)入矩形通道塵埃的數(shù)量的比值）。塵埃所受的重力，空氣阻力及塵埃之間的相互作用均可忽略不計(jì)，在該裝置處于穩(wěn)定工作狀態(tài)時(shí)：

（1）求在較短的一段時(shí)間呢，A、B兩極板間加速電場(chǎng)對(duì)塵埃所做的功；

（2）若所有進(jìn)入通道的塵埃都被收集，求通過(guò)高壓直流電源的電流；

（3）請(qǐng)推導(dǎo)出收集效率隨電壓直流電源輸出電壓U變化的函數(shù)關(guān)系式。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）若，；若，效率為100％

【解析】

試題分析：（1）設(shè)電荷經(jīng)過(guò)極板B的速度大小為，對(duì)于一個(gè)塵埃通過(guò)加速電場(chǎng)過(guò)程中，加速電場(chǎng)做功為

在時(shí)間內(nèi)從加速電場(chǎng)出來(lái)的塵埃總體積是

其中的塵埃的總個(gè)數(shù)

故A、B兩極板間的加速電場(chǎng)對(duì)塵埃所做的功

對(duì)于一個(gè)塵埃通過(guò)加速電場(chǎng)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理可得

故解得

（2）若所有進(jìn)入矩形通道的塵埃都被收集，則時(shí)間內(nèi)碰到下極板的塵埃的總電荷量

通過(guò)高壓直流電源的電流

（3）對(duì)某一塵埃，其在高壓直流電源形成的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，在垂直電場(chǎng)方向做速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng)，在沿電場(chǎng)力方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：垂直電場(chǎng)方向位移，沿電場(chǎng)方向位移

根據(jù)牛頓第二定律有

距下板y處的塵埃恰好到達(dá)下板的右端邊緣，則x=L

解得

若，即，則收集效率

若，則所有的塵埃都到達(dá)下極板，效率為100％