Question

在某一真空空間內(nèi)建立xOy坐標(biāo)系，從原點(diǎn)O處向第I象限發(fā)射一荷質(zhì)比

q

m

=104C/kg的帶正電的粒子（重力不計(jì)）．速度大小v₀=10³ m/s、方向與x軸正方向成30°角．

（1）若在坐標(biāo)系y軸右側(cè)加有勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，在第I、Ⅳ象限，磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向外B=1T，求粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R？
（2）若在坐標(biāo)系y軸右側(cè)加有勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，在第I象限，磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向外；在第Ⅳ象限，磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向里；磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T，如圖（a）所示，求粒子從O點(diǎn)射出后，第2次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的坐標(biāo)x₁．
（3）若將上述磁場(chǎng)均改為如圖（b）所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在t=0到t=

2π

3

×10-4s時(shí)，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向外；在t=

2π

3

×10-4s到t=

4π

3

×10-4s時(shí)，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里，此后該空間不存在磁場(chǎng)，在t=0時(shí)刻，粒子仍從O點(diǎn)以與原來(lái)相同的速度v₀射入，求粒子從O點(diǎn)射出后第2次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的坐標(biāo)x₂．

Answer 1

分析：洛倫茲力提供向心力，可以求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑；根據(jù)題目提供的條件，正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，進(jìn)而確定各點(diǎn)之間的關(guān)系．

解答：解：（1）設(shè)粒子的軌道半徑r，洛倫茲力提供向心力，有qvB=m

v2

r

，r=0.1m
（2）粒子在x軸上方和下方的磁場(chǎng)中做半徑相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖 （a）所示．由幾何關(guān)系知粒子第二次經(jīng)過(guò)x軸的坐標(biāo)為x₁=2r=0.2 m．
（3）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T．
則T=

2πm

Bq

=2π×10-4s．
據(jù)題意，知粒子在t=0到t=

2π

3

×10-4s內(nèi)和在t=

2π

3

×10-4s到t=

4π

3

×10-4s時(shí)間內(nèi)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓弧所對(duì)的圓心角均為

2π

3

，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)如圖 （b）所示．
△ODX₂ 是低邊夾角是30°的等邊三角形，
由幾何關(guān)系得x₂=2（2rsin30°+2r）=6r=0.6 m．
答：（1）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是0.1m；
（2）第2次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的坐標(biāo)0.2m．
（3）粒子從O點(diǎn)射出后第2次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的坐標(biāo)x₂=0.6 m．

點(diǎn)評(píng)：該題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力是基礎(chǔ)，正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．