Question

10．如圖，平行長直金屬導軌水平放置，導軌間距為L，一端接有阻值為R的電阻，整個導軌處于豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度大小為B．一根質量為m的金屬桿置于導軌上，與導軌垂直并接觸良好．己知金屬桿在導軌上開始運動的初速度大小為V₀，方向平行于導軌．忽略金屬桿與導軌的電阻，不計摩擦．求金屬桿運動到總路程的λ（0≤λ≤1）倍時，安培力的瞬時功率．

Answer 1

分析 金屬棒運動切割磁感線產生感應電動勢，回路中有感應電流，感應電流在磁場中受到安培力的作用，取極短的時間運用動量定理列式，運用微元法即可求得瞬時功率．

解答 解：設運動過程中任意時刻的速度為v，運動的總位移為x，則E=Blv，而i=$\frac{E}{R}$，則金屬棒受到的安培力F=Bil=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R}$
在極端的時間△t內，由動量定理得-F•△t=m•△v
即-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v△t}{R}$=m△v，對全過程累加得-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}x}{R}$=mv₀
當x'=λx時，v=v0-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}λx}{mR}$，即v=（1-λ）v₀
此時安培力F′=$\frac{（1-λ）{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$，瞬時功率P=F′v=$\frac{（1-λ）^{2}{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}^{2}}{R}$．
答：所以金屬桿運動到總路程的λ（0≤λ≤1）倍時，安培力的瞬時功率為$\frac{（1-λ）^{2}{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}^{2}}{R}$．

點評 此題涉及微元法的應用，微元法在自主招生考試中經常出現，值得引起高度重視．同時，應用動量定理解決安培力的相關問題，在華約自主招生中經常出現，最近的是2011年華約自主招生物理試題第7題．