Question

在電視中我們常看見(jiàn)魔術(shù)師使圓筒在空中無(wú)任何支撐條件下運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱“魔環(huán)運(yùn)動(dòng)”，其原理如圖1所示．即水平地面上豎直放置一個(gè)質(zhì)量為m、半徑為R的光滑金屬圓筒，在圓筒最底點(diǎn)P安裝一個(gè)儲(chǔ)備一定能量的彈簧裝置，將一質(zhì)量為2m的小球A（可視為質(zhì)點(diǎn)）置于P點(diǎn)，打開(kāi)彈簧裝置將彈簧儲(chǔ)備的能量全部轉(zhuǎn)移給A，A就會(huì)從圓筒的P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)Q，又從Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)P點(diǎn)，在這一過(guò)程中，圓筒將離開(kāi)地面時(shí)而向上或向下運(yùn)動(dòng)，這就是“魔環(huán)運(yùn)動(dòng)”．設(shè)筒的內(nèi)徑、彈簧裝置的大小、圓筒自身的運(yùn)動(dòng)可以忽略，完成下列問(wèn)題：
（1）要使A要到達(dá)Q點(diǎn)，求A在P點(diǎn)的最小速度．
（2）當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，要使圓筒離開(kāi)地面，求A在Q點(diǎn)的最小速度．
（3）當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，要使圓筒具有大小為g，方向豎直向上的加速，則彈射裝置應(yīng)該儲(chǔ)備的能量？
（4）以A在最高點(diǎn)對(duì)圓筒的作用力F_N為縱坐標(biāo)（規(guī)定向上為正），彈簧裝置儲(chǔ)備的能量E為橫坐標(biāo)，在圖2中作出F_N-E圖象．

Answer 1

分析：應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求速度；要使圓筒離開(kāi)地面，則A在Q點(diǎn)所受指向圓心的合外力為3mg，由向心力公式求速度；要使圓筒的加速度為g，則A受到的合外力為4mg，由向心力公式和能量守恒即可求解．

解答：解：（1）當(dāng)A要到達(dá)Q點(diǎn)，在Q點(diǎn)速度為0，由機(jī)械能守恒定律得：
2mg（2R）=

1

2

×2

mV

2 1

得：V1=2

gR

（2）要使圓筒離開(kāi)地面，則A在Q點(diǎn)所受指向圓心的合外力為3mg，由牛頓第二定律：
3mg=

2 mV 2 2

R

 得：V2=

3gR 2

（3）要使圓筒的加速度為g，則A受到的合外力為4mg，由牛頓第二定律：
4mg=

2 mV 2 3

R

由能量守恒：E=2mg×2R+

1

2

×2

mV

2 3

=6mgR
（4）圖象如圖所示

答：（1）要使A要到達(dá)Q點(diǎn)，A在P點(diǎn)的最小速度V1=2

gR

．（2）當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，要使圓筒離開(kāi)地面，A在Q點(diǎn)的最小速度V2=

3gR 2

．
（3）當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，要使圓筒具有大小為g，方向豎直向上的加速，則彈射裝置應(yīng)該儲(chǔ)備的能量為6mgR．（4）如圖．

點(diǎn)評(píng)：本題才關(guān)鍵是分析求在最高點(diǎn)的受力，結(jié)合向心力公式和牛頓第二定律求解．