Question

如右圖所示，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓環(huán)軌道與水平面相切于M點(diǎn)，與豎直墻相切于A點(diǎn)，豎直墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為60°，C是圓環(huán)軌道的圓心，D是圓環(huán)上與M靠得很近的一點(diǎn)（DM遠(yuǎn)小于CM）．已知在同一時(shí)刻：a、b兩球分別由A、B兩點(diǎn)從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)；c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)；d球從D點(diǎn)靜止出發(fā)沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)．則（　　）

A．a(chǎn)球最先到達(dá)M點(diǎn)

B．b球最先到達(dá)M點(diǎn)

C．c球最先到達(dá)M點(diǎn)

D．d球最先到達(dá)M點(diǎn)

Answer 1

分析：a、b、c三個(gè)小球均勻加速直線運(yùn)動(dòng)，d球的運(yùn)動(dòng)可等效成單擺運(yùn)動(dòng)，因DM遠(yuǎn)小于CM，其運(yùn)動(dòng)等效為簡諧運(yùn)動(dòng)．由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到a、b、c三個(gè)球運(yùn)動(dòng)時(shí)間與圓的半徑的關(guān)系，根據(jù)單擺的周期公式得到d球運(yùn)動(dòng)時(shí)間與圓的半徑的關(guān)系，即可比較時(shí)間長短．

解答：解：設(shè)圓環(huán)軌道的半徑為R，a、b、c、d四個(gè)球運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用時(shí)間分別為t₁、t₂、t₃、t₄．
對(duì)于a球：加速度為a_a=gsin45°，

2

R=

1

2

aa

t

2 1

，聯(lián)立解得t₁=2

R g

對(duì)于b球：加速度為a_b=gsin60°，2R=

1

2

ab

t

2 2

，聯(lián)立解得t₂=2

2 3

?

R g

對(duì)于c球：由R=

1

2

g

t

2 3

，得t₃=

2R g

對(duì)于d球：d球的運(yùn)動(dòng)與單擺的簡諧運(yùn)動(dòng)類似，等效擺長等于R，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₄=

1

4

T=

1

4

?2π

R g

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，t₃最小，所以c球最先到達(dá)M點(diǎn)．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題要善于用相同的量表示小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間，難點(diǎn)是將d球的運(yùn)動(dòng)等效成單擺運(yùn)動(dòng)．