Question

【題目】如圖所示，勁度系數(shù)為k的較彈簧一端固定水平面上，另一端與質(zhì)量為m的物塊A相連接處于直立狀態(tài)。細(xì)繩跨過一固定光滑定滑輪，一端系在物體A上，另一端連接一個(gè)不計(jì)質(zhì)量的小掛鉤。小掛鉤不掛任何物體時(shí)，物體A處于靜止?fàn)顟B(tài)。在小掛鉤上輕輕掛上一個(gè)質(zhì)量為2m的物塊B并由靜止釋放后，物塊A開始向上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中B始終未接觸地面，彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi)。已知重力加速度為g。求：

（1）設(shè)物塊A上升通過Q點(diǎn)位置時(shí)速度最大，求Q點(diǎn)到出發(fā)點(diǎn)的距離x0及最大速度vm；

（2）若物塊的質(zhì)量增大為原來的N倍，試分析說明不管N多大，物塊A上升到Q點(diǎn)時(shí)的速度都不可能增大到2vm；

（3）若把物塊B撤掉，在小掛鉤上施加一個(gè)豎直向下的外力F（未知），使物塊A由靜止向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t上升到Q點(diǎn)，求此過程外力做的功。

Answer 1

【答案】（1） vm= （2） 不可能 （3）

【解析】

（1）小掛鉤不掛任何物體時(shí)，物體A處于靜止?fàn)顟B(tài)，設(shè)彈簧的壓縮量為x1，根據(jù)平衡條件有：

mg=kx1

得：

x1=

掛上物塊B后，A開始向上加速運(yùn)動(dòng)，加速度逐漸減小，當(dāng)加速度減小為零時(shí)，彈簧必然處于拉伸狀態(tài)，物塊A到達(dá)Q位置，此時(shí)速度達(dá)到最大。設(shè)彈簧的伸長量為x2，有：

2mg-mg-kx2=0

得：

x2=

x0=x1+x2=

物塊A在出發(fā)點(diǎn)位置和Q位置，彈簧形變量相同，彈性勢能相等，根據(jù)功能關(guān)系得：

（2mg-mg）·x0=

解得：

vm=

（2）若物塊B的質(zhì)量增大為原來的N倍，因?yàn)楦鶕?jù)功能關(guān)系得：

（2Nmg-mg）·x0=

解得：

v1=

當(dāng)N→∞時(shí)，

v1=

而

2vm=

顯然

v1=＜2vm

所以不管N多大，物塊A上升到Q點(diǎn)時(shí)的速度都不可能增大到2vm 。

（3）物塊A由靜止向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，上升到Q點(diǎn)時(shí)的速度為v′，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：

解得：

v′=

此過程根據(jù)功能關(guān)系，有：

WF-mgx0=

解得：

WF=