Question

如圖甲所示，平行虛線a、b將空間分為三個(gè)區(qū)域，兩側(cè)存在方向相反的勻強(qiáng)磁場，中間存在變化的電場．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，左側(cè)的磁場方向垂直紙面向里，右側(cè)的磁場方向垂直紙面向外；電場強(qiáng)度隨時(shí)間變化的圖象如圖乙所示，選垂直邊界向右為正方向．t₀=0時(shí)，在電場內(nèi)緊靠虛線a的某處無初速度釋放一個(gè)電量為q、質(zhì)量為m的帶正電的粒子，在t1=

πm

qB

時(shí)刻，粒子第一次到達(dá)虛線b進(jìn)入磁場，已知a、b之間的距離為d，不計(jì)粒子重力．求：

（l）E₀的大小；
（2）若已知在2

1πm

3qB

時(shí)刻粒子第一次進(jìn)入左側(cè)磁場，求粒子在左側(cè)磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑（結(jié)果可保留π）；
（3）在t2=

5πm

qB

時(shí)刻，粒子距釋放點(diǎn)的距離（結(jié)果可保留π）．

Answer 1

分析：（1）粒子直線加速，先根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式求解加速度，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解電場強(qiáng)度；
（2）粒子在右側(cè)磁場中經(jīng)過半個(gè)周期進(jìn)入電場，然后根據(jù)動(dòng)能定理求解進(jìn)入左側(cè)磁場的速度，再根據(jù)牛頓第二定律求解圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（3）粒子不斷的直線加速、減速和圓周運(yùn)動(dòng)，先畫出軌跡，然后分段分析．

解答：解：（1）粒子第一次在電場中加速過程是初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有：
d=

1

2

a1

t

2 1

t₁=

πm

qB

解得：a1=

2d

t 2 1

=

2d q 2B2

π2m2

由牛頓第二定律，有：
qE₀=ma₁
解得：E0=

ma1

q

=

2d q  B2

π2m

（2）粒子進(jìn)入右側(cè)磁場時(shí)的速度大小為：v1=a1t1=

2dqB

πm

由題意，粒子在右側(cè)磁場中經(jīng)過半個(gè)周期第二次進(jìn)入電場區(qū)域，是加速過程，根據(jù)牛頓第二定律，有：
q（3E₀）=ma₂
解得：a2=

3E0q

m

=

6dq2B2

π2m2

所以粒子第一次進(jìn)入左側(cè)磁場的速度為；
v2=v1+a2(

πm

3qB

)=

4dqB

πm

粒子在左側(cè)磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律：qv2B=m

v 2 2

r2

解得：r2=

4d

π

（3）由題意可知，粒子第三次進(jìn)入電場中由速度v₂減小為v₁，進(jìn)入右側(cè)磁場做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑可由第（2）問的結(jié)論得出：r1=

r2

2

=

2d

π

由圖可知t3=

5πm

qB

時(shí)粒子第三次到達(dá)a邊界，據(jù)示釋放點(diǎn)的距離為：
L=4r₁+2r₂
解得：L=

16

π

d
答：（l）E₀的大小為

2d q  B2

π2m

；
（2）粒子在左側(cè)磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

4d

π

；
（3）在t2=

5πm

qB

時(shí)刻，粒子距釋放點(diǎn)的距離為

16

π

d．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，注意題中乙圖中的時(shí)間都是設(shè)計(jì)好的離開電場和進(jìn)入電場的時(shí)刻，不難．