Question

大原子反應堆中，用石墨（碳）做減速劑使快中子變?yōu)槁�中子，已知碳核的質量是中子質量的12倍，假設中子與碳核的碰撞是彈性的（即碰撞中不計能量損失），而且碰撞前碳核是靜止的，
試求：（1）設碰撞前中子的動能為E₀，問經(jīng)過一次碰撞后，中子的動能損失多少？
（2）至少經(jīng)過多少次碰撞，中子的動能才能少于10^-6E₀（lg13=1.114，lg11=1.041）？

Answer 1

分析：（1）由題，中子與碳核發(fā)生彈性碰撞，遵守動量守恒和能量守恒，根據(jù)兩個守恒定律列方程求出碰撞后中子的速度，再求解經(jīng)過一次碰撞后，中子的動能損失．
（2）采用數(shù)學歸納法，分別分析中子與碳核第一次碰撞后、第二次碰撞后…，第n次碰撞后中子剩余的動能，尋找規(guī)律，列出通項，由數(shù)學知識求出次數(shù)．

解答：解：
（1）設中子的質量為m，速度為v₀，碳核的質量為M₀，二者碰撞后的速度分別為：v₁、v，則
根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律得
    mv₀=mv₁+Mv          ①

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2

②
由①②可得：v1=-

11

13

v0
碰撞一次，中子的動能損失為：△E=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 0

[1-(

11

13

)2]=

48

169

E0
（2）中子與碳核第一次碰撞后剩余的動能為：E1=

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m(-

11

13

v0)2]=(

11

13

)2E0
同理經(jīng)過第二次碰撞后，中子剩余的動能為：E2=

1

2

m

v

2 2

=

1

2

m(

11

13

v1)2=(

11

13

)2×2E0
…
第n次碰撞后中子剩余的動能為：En=

1

2

m

v

2 n

=

1

2

m(

11

13

vn-1)2=(

11

13

)2nE0=10-6E0
有(

11

13

)2nE0=10-6E0，即(

11

13

)2n=10-6
兩邊取對數(shù)可得：2n（lg11-lg13）=-6
得：n=41.1≈42次
答：
（1）設碰撞前中子的動能為E₀，經(jīng)過一次碰撞后，中子的動能損失是

48

169

E0；
（2）至少經(jīng)過42次碰撞，中子的動能才能少于10^-6E₀．

點評：微觀粒子的碰撞往往是彈性碰撞，遵守動量守恒定律和能量守恒定律兩大守恒定律．本題難點是運用數(shù)學方法求解物理問題．