Question

（2010?浙江模擬）有一xOy平面，在x＜0的空間內(nèi)，存在場強(qiáng)為E、與 y軸成θ角的勻強(qiáng)電場，如圖所示．在第Ⅲ象限某處有質(zhì)子源s，以某一初速度垂直于電場的方向射出質(zhì)量為m、電荷量為q的質(zhì)子．初速度的延長線與x軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-d，0），質(zhì)子射出電場時(shí)恰經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，并沿x軸正向進(jìn)入x＞0區(qū)域．在x＞0一側(cè)有邊界為圓形的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于xOy平面向外，邊界某處與y軸相切．質(zhì)子進(jìn)入磁場被偏轉(zhuǎn)，在射出磁場后垂直于電場方向回到x＜0的區(qū)域．
（1）試求出質(zhì)子的初速度v₀，并確定質(zhì)子源s位置的坐標(biāo)．
（2）圓形磁場的最小半徑r．
（3）質(zhì)子從射入磁場到再次回到x＜0的電場區(qū)域所經(jīng)歷的時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直射入電場，在電場中偏轉(zhuǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律即可求解初速度，根據(jù)幾何關(guān)系可求得質(zhì)子源s位置的坐標(biāo)；
（2）設(shè)質(zhì)子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑為R，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則根據(jù)幾何關(guān)系及向心力公式求得半徑r；
（3）先根據(jù)周期公式求出在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，粒子從磁場中出來到射進(jìn)電場的過程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解此過程的時(shí)間，總時(shí)間等于兩段時(shí)間之和．

解答：解：（1）設(shè)質(zhì)子在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，粒子垂直射入電場，在電場中偏轉(zhuǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的推論可知，速度方向的反向延長線通過水平位移的中點(diǎn)，則
dcosθ=

1

2

v₀t₁
tanθ=

qE m t1

v0

解得：v0=

2qEd(cosθ)2 msinθ

根據(jù)幾何關(guān)系得：
x_s=-d[1+（cosθ）²]
y_s=-dsinθcosθ
質(zhì)子源s位置的坐標(biāo)為（-d[1+（cosθ）²]，-dsinθcosθ）．
（2）設(shè)質(zhì)子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑為R，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
則根據(jù)幾何關(guān)系有：
r=Rcos

θ

2

Bqv=

mv2

R

，
v=

v0

cosθ

=

2qEd msinθ

解得：
r=

1

B

2Edm qsinθ

cos

θ

2

（3）設(shè)在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，從出磁場到y(tǒng)軸的時(shí)間為t₃，則
t=t₂+t₃
其中t₂=

π-θ

2π

T=

(π-θ)m

Bq

    
 t3=

r+rsin θ 2

vcosθ

=

m(1+sin θ 2 )

qBcosθ

cos

θ

2

所以t=t₂+t₃=

m

qB

[π-θ+

(1+sin θ 2 )cos θ 2

cosθ

]
答：（1）質(zhì)子的初速度v₀為

2qEd(cosθ)2 msinθ

，質(zhì)子源s位置的坐標(biāo)為（-d[1+（cosθ）²]，-dsinθcosθ）．
（2）圓形磁場的最小半徑r為

1

B

2Edm qsinθ

cos

θ

2

．
（3）質(zhì)子從射入磁場到再次回到x＜0的電場區(qū)域所經(jīng)歷的時(shí)間t為

m

qB

[π-θ+

(1+sin θ 2 )cos θ 2

cosθ

]．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的問題，粒子垂直射入電場，在電場中偏轉(zhuǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度較大．