Question

11．一輛執(zhí)勤的警車停在公路邊，當(dāng)警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊以10m/s的速度勻速行駛的貨車嚴(yán)重超載時，決定前去追趕，經(jīng)過5s后警車發(fā)動起來，并以2m/s²的加速度做勻加速運動，但警車的速度必須控制在90km/h以內(nèi)．問：
（1）警車啟動時，貨車與警車間的距離？
（2）警車啟動后多長時間兩車間距最大，最大距離是多少？
（3）警車發(fā)動后至少經(jīng)過多長時間才能追上貨車？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)${x}_{貨}^{\;}={v}_{貨}^{\;}{t}_{0}^{\;}$求警車啟動時，貨車與警車間的距離；
（2）由題，貨車做勻速直線運動，警車做勻加速直線運動．在警車追上貨車之前，兩車速度相等時，兩車間的距離最大．根據(jù)速度相等求出時間，再由位移公式求解最大距離．
（3）當(dāng)警車追上違章的貨車，兩車的位移相等，再位移公式求解時間．

解答 解：90km/h=25m/s
（1）警車啟動時，貨車與警車間的距離${x}_{0}^{\;}={v}_{貨}^{\;}t=10×5m=50m$
（2）經(jīng)時間t兩車速度相等，${v}_{貨}^{\;}=at$
$t=\frac{{v}_{貨}^{\;}}{a}=\frac{10}{2}s=5s$
警車的位移：${x}_{警}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}×2×{5}_{\;}^{2}=25m$
貨車的位移${x}_{貨}^{\;}={v}_{貨}^{\;}t=10×5=50m$
最大距離$△x={x}_{0}^{\;}+{x}_{貨}^{\;}-{x}_{警}^{\;}=50+50-25=75m$
（3）設(shè)警車經(jīng)時間t追上貨車，假設(shè)警車一直做勻加速直線運動，則有
${x}_{警}^{\;}={x}_{0}^{\;}+{x}_{貨}^{\;}$
$\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}=50+{v}_{貨}^{\;}t$
即：$\frac{1}{2}×2{t}_{\;}^{2}=50+10t$
解得：t≈13s
此時警車的速度v=at=13×2=26m/s＞25m/s
警車勻加速到最大速度的時間${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{\;}}{a}=\frac{25}{2}s=12.5s$
所以警車先勻加速直線運動達到最大速度后做勻速運動
$\frac{{v}_{m}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}+{v}_{m}^{\;}（t-{t}_{1}^{\;}）={x}_{0}^{\;}+{v}_{貨}^{\;}t$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{25}{2}×12.5+25×（t-12.5）=50+10t$
解得：t=13.75s
答：（1）警車啟動時，貨車與警車間的距離50m
（2）警車啟動后多長時間兩車間距最大，最大距離是75m
（3）警車發(fā)動后至少經(jīng)過13.75s才能追上貨車

點評 本題是追及類型，除了分別研究兩物體的運動情況之外，關(guān)鍵要尋找它們之間的關(guān)系．往往兩物體速度相等時，物體之間的距離達到最大或最小．