Question

兩塊平行金屬板MN、PQ水平放置，板長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩板間距離為

3

L在緊靠平行板右側(cè)的正三角形區(qū)域內(nèi)存在著垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，三角形底邊BC與PQ在同一水平線上，頂點(diǎn)A與MN在同一水平線上，如圖所示．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子沿兩板間中心線以初速度v?水平射入，若在兩板間加某一恒定電壓，粒子離開(kāi)電場(chǎng)后恰好垂直AB邊進(jìn)入磁場(chǎng)，并垂直AC邊射出．不計(jì)粒子的重力，整個(gè)裝置都處于真空中．求：

（1）兩極板間電壓的大�。�
（2）三角形區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）粒子從開(kāi)始進(jìn)入電場(chǎng)到從AC邊射出經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子先電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，后進(jìn)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由題知粒子離開(kāi)電場(chǎng)后恰好垂直AB邊進(jìn)入磁場(chǎng)，說(shuō)明電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度為30°，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，可求速度間的關(guān)系，得到離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求解；
（2）由幾何關(guān)系，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的半徑公式，從而可確定磁場(chǎng)的大小，由運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合左手定則可確定磁場(chǎng)的方向；
（3）分別求出粒子勻速直線運(yùn)動(dòng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即得到總時(shí)間．

解答：解：（1）垂直AB邊進(jìn)入磁場(chǎng)，由幾何知識(shí)得：粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)角為30°
∵v_y=at=

qU

md

?

L

v0

tanθ=

vy

v0

∴解得板間電壓U=

3 md v 2 0

3qL

（2）由幾何關(guān)系得：L_AB=

d

cos30°

=

3 L

cos30°

=2L
在電場(chǎng)中：粒子集團(tuán)的距離為y=

vy

2

t=

v0tanθ

2

?

L

v0

=

3

6

L
則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑r=L_AB-（

3

2

L-y）cos30°=

3

2

L
磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率為v=

v0

cos30°

=

2 3

3

v0
由qvB=m

v2

r

得B=

mv

qr

=

4 3 mv0

9qL

（2）粒子從離開(kāi)電場(chǎng)到磁場(chǎng)的過(guò)程做勻速直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)間為t′=

ysin30°

v

=

L

8v0

粒子磁場(chǎng)中軌跡的圓心角θ=60°，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t″=

π 3 r

v

=

3 πL

4v0

故粒子從開(kāi)始進(jìn)入電場(chǎng)到從AC邊射出經(jīng)歷的時(shí)間為t_總=t+t′+t″=

L

v0

+

L

8v0

+

3 πL

4v0

=（

9

8

+

3 π

4

）

L

v0

答：
（1）兩極板間電壓的大小為

3 md v 2 0

3qL

．
（2）三角形區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是

4 3 mv0

9qL

．
（3）粒子從開(kāi)始進(jìn)入電場(chǎng)到從AC邊射出經(jīng)歷的時(shí)間是（

9

8

+

3 π

4

）

L

v0

．

點(diǎn)評(píng)：考查粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)和在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，結(jié)合牛頓第二定律與幾何關(guān)系來(lái)綜合應(yīng)用，掌握運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑與周期公式．