Question

兒童滑梯可以看成是由斜槽AB和水平槽CD組成，中間用很短的光滑圓弧槽BC連接，如圖所示．質(zhì)量為m的兒童從斜槽的頂點(diǎn)A由靜止開始沿斜槽AB滑下，再進(jìn)入水平槽CD，最后停在水平槽上的E點(diǎn)，由A到E的水平距離設(shè)為L．假設(shè)兒童可以看作質(zhì)點(diǎn)，已知兒童的質(zhì)量為m，他與斜槽和水平槽間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，A點(diǎn)與水平槽CD的高度差為h．
（1）求兒童從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)的過程中，重力做的功和克服摩擦力做的功；
（2）試分析說明，兒童沿滑梯滑下通過的水平距離L與斜槽AB跟水平面的夾角無關(guān)；
（3）要使兒童沿滑梯滑下過程中的最大速度不超過v，斜槽與水平面的夾角不能超過多少？（可用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析：（1）重力做功與路徑無關(guān)，只與初末位置有關(guān)；根據(jù)動(dòng)能定理列式求解克服摩擦力做的功．
（2）對(duì)全程根據(jù)動(dòng)能定理列式求解水平槽上滑行的位移表達(dá)式進(jìn)行討論．
（3）對(duì)小孩在斜面上加速過程過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式，求解出最大速度的表達(dá)式進(jìn)行討論即可．

解答：解：（1）兒童從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)的過程中，重力做功W=mgh，兒童由靜止開始滑下最后停在E點(diǎn)，在整個(gè)過程中克服摩擦力做功W₁，由動(dòng)能定理得，
mgh-W₁=0，則克服摩擦力做功為W₁=mgh
（2）設(shè)斜槽AB與水平面的夾角為α，兒童在斜槽上受重力mg，支持力F_N1和滑動(dòng)摩擦力f₁
f₁=μmgcosα
兒童在水平槽上受重力mg、支持力F_N2和滑動(dòng)摩擦力f₂
f₂=μmg
兒童從A點(diǎn)由靜止滑下，最后停在E點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
mgh-μmgcosα?

h

sinα

-μmg(L-h?cotα)=0 
解得L=

h

μ

，它與角α無關(guān)
（3）兒童沿滑梯滑下的過程中，通過B點(diǎn)的速度最大，顯然，傾角α越大，通過B點(diǎn)的速度越大，設(shè)傾角為α₀時(shí)有最大速度v，由動(dòng)能定理得
mgh-μmgcosα0

h

sinα0

=

1

2

mv2
解得最大傾角α0=arccot(

2gh-v2

2μgh

)
答：（1）兒童從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)的過程中，重力做的功為mgh，克服摩擦力做的功也為mgh；
（2）兒童沿滑梯滑下通過的水平距離L與斜槽AB跟水平面的夾角無關(guān)，證明如上；
（3）要使兒童沿滑梯滑下過程中的最大速度不超過v，斜槽與水平面的夾角不能超過arccot(

2gh-v2

2μgh

)．

點(diǎn)評(píng)：本題中小孩從A到E過程中克服摩擦力做功等于μmgL，可以作為結(jié)論記住，根據(jù)該原理還可以測(cè)量動(dòng)摩擦因素．