Question

如圖所示，圓盤可以繞過(guò)圓心垂直圓盤的豎直軸在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．圓盤半徑R=0.4m，在圓盤邊緣有一質(zhì)量M=0.5kg的A物體，A通過(guò)長(zhǎng)度L=0.7m的水平細(xì)輕繩穿過(guò)位于圓心的光滑輕質(zhì)小定滑輪與質(zhì)量m=0.29kg的B物體相連，輕繩與小孔間無(wú)摩擦．A物體與圓盤間的最大靜摩擦力為其正壓力的0.42倍．圓盤距地面高度H=0.5m．（g=10m/s²，AB兩物體可視為質(zhì)點(diǎn)） 
求：①為使物體A與圓盤間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角度的范圍大小多大？
②若當(dāng)A與圓盤間的靜摩擦力f=0.3N時(shí)，將OA段繩燒斷，則當(dāng)B落地瞬間A、B兩物體的距離最大為多少？

Answer 1

分析：①A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繩子拉力與摩擦力的合力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出角速度的范圍．
②繩子斷裂后，B做自由落體運(yùn)動(dòng)，A做平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律與平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出A、B間的最大距離．

解答：解：①A受到的最大靜摩擦力背離圓心時(shí)，角速度最小，
由牛頓第二定律得：mg-μMg=Mω₁²R，解得：ω₁=2rad/s，
當(dāng)A受到的最大靜摩擦力指向圓心時(shí)，角速度最大，
由牛頓第二定律得：mg+μMg=Mω₂²R，解得：ω₁=5rad/s，
角速度范圍是2rad/s≤ω≤5rad/s；
②繩子斷后，B做自由落體運(yùn)動(dòng)，
H-（L-R）=

1

2

gt²，解得：t=0.2s，
對(duì)于A，若靜摩擦力指向圓心，
由牛頓第二定律得：mg+f=M

v 2 1

R

，解得：v₁=1.6m/s，
若靜摩擦力背離圓心，物體A的線速度為v₂，mg-f=M

v 2 2

R

，
顯然由上述兩個(gè)方程可得：v₁＞v₂，所以物體A以v₁的速度平拋，當(dāng)物體B落地時(shí)兩者間距最大；
物體A做平拋運(yùn)動(dòng)，t=0.2s時(shí)間內(nèi)，沿速度方向的位移為x，
下落的位移為y，則有：x=v₁t，y=

1

2

gt2，解得：x=0.32m，y=0.2m，
所以此時(shí)A物體與地面的高度為：h=H-y=0.3m，
物體A、B間此時(shí)的距離為：S=

R2+x2+h2

=

0.3524

=0.59m；
答：：①為使物體A與圓盤間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角度的范圍是2rad/s≤ω≤5rad/s；
②若當(dāng)A與圓盤間的靜摩擦力f=0.3N時(shí)，將OA段繩燒斷，則當(dāng)B落地瞬間A、B兩物體的距離最大為0.59m．

點(diǎn)評(píng)：摩擦力與繩子拉力的合力提供向心力，摩擦力的方向既可以指向圓心，也可以背離圓心，根據(jù)摩擦力方向變化情況分析討論是正確解題的關(guān)鍵．