Question

4．如圖a所示，A、B為光滑水平地面上相距d的兩擋板，在A、B的之間有一質(zhì)量為m的質(zhì)點P．若在P上加上如圖b所示隨時間t變化的作用力F（取向右為F的正方向），在t=0時質(zhì)點P位于A、B間的中點處且初速為0．已知質(zhì)點P能在A、B之間以最大的幅度運(yùn)動而不與兩板相碰，且質(zhì)點P開始從中點運(yùn)動到最右邊，及以后每次從最左邊到最右邊或從最右邊到最左邊的過程中，力F只改變一次．
（1）求質(zhì)點P從AB的中點從靜止開始出發(fā)第一次運(yùn)動到最右點的時間t；
（2）求圖b中時刻t₂、t₃和t_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)點從B板向A板先做加速運(yùn)動，后做減速運(yùn)動，位移之和等于$\frac{1}{2}$d，由速度公式和位移公式列式求解t的表達(dá)式．
（2）尋找每次加速和減速的規(guī)律，得出t_n的表達(dá)式．

解答 解：（1）質(zhì)點運(yùn)動加速度大小a=$\frac{F}{m}$=g
在t=0時，P自A、B間的中點向右作初速為0的勻加速運(yùn)動，加速度為g．經(jīng)過時間t₁，P的速度變?yōu)関₁，此時加速度變?yōu)橄蜃�，P向右作勻減速運(yùn)動，再經(jīng)過t₁，P正好達(dá)到B板且速度變?yōu)?．故有
v₁₌g t₁
0=v₁-gt₁
$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$+v₁t₁-$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$
由以上各式得t₁=t₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{\frac77e3ef1{g}}$
得t=t₁+t₁=$\sqrt{2}$$\sqrt{\fracleivkhl{g}}$
（2）P由B板處向左做勻加速運(yùn)動，經(jīng)過時間t₂，P的速度變?yōu)関₂，方向向左．此時加速度變?yōu)橄蛴�，P向左作勻減速運(yùn)動，再經(jīng)過t₃，P正好達(dá)到A板且速度變?yōu)?．故有
v₂=gt₂
0=v₂-gt₃
d=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{2}^{2}$+v₂t₃-$\frac{1}{2}$gt${\;}_{3}^{2}$
由以上各式得   t₂=t₃=$\sqrt{\fraceuxu7do{g}}$
則 t₂=t₁+t₁+t₂=（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{\fracqanmz3i{g}}$
質(zhì)點P又由A板向右作勻加速運(yùn)動，經(jīng)過時間t₄，速度變?yōu)関₃，此時加速度變?yōu)橄蜃�，P向右作勻減速運(yùn)動，經(jīng)過t₅，P正好達(dá)到B板且速度變?yōu)?．故有
v₃=gt₄
0=v₃-gt₅
d=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{4}^{2}$+v₃t₅-$\frac{1}{2}$gt${\;}_{5}^{2}$
由上得 t₄=t₅=$\sqrt{\frac2da83p2{g}}$
t₃=t₂+t₃+t₄=（$\sqrt{2}$+3）$\sqrt{\fracwlyhkx8{g}}$
根據(jù)上面分析，除第一次P從中點運(yùn)動到最右點外，以后每次從從最左邊到最右邊或從最右邊到最左邊的運(yùn)動，都是先做勻加速運(yùn)動，再做勻減速運(yùn)動，且每次勻加速運(yùn)動和勻減速運(yùn)動的時間相等，即
t₂=t₃=t₄=t₅=…=$\sqrt{\fracpebvnrz{g}}$
則t_n=t+（2n-3）t₂  （n≥2）
得t_n=（$\sqrt{2}$+2n-3$\sqrt{\frac6yqe8ro{g}}$      （n≥2）
答：（1）質(zhì)點P從AB的中點從靜止開始出發(fā)第一次運(yùn)動到最右點的時間t為$\sqrt{2}\sqrt{\frac2qpvdu8{g}}$；
（2）圖b中時刻${t}_{2}^{\;}、{t}_{3}^{\;}、{t}_{n}^{\;}$的表達(dá)式${t}_{2}^{\;}=\sqrt{\fracjd6adbk{g}}$、${t}_{3}^{\;}=（\sqrt{2}+3）\sqrt{\frach3svsgo{g}}$、${t}_{n}^{\;}=（\sqrt{2}+2n-3）\sqrt{\frac223kewv{g}}$．

點評 本題是質(zhì)點在周期性變化的作用力作用下的運(yùn)動問題，分析質(zhì)點的運(yùn)動情況、把握運(yùn)動規(guī)律是關(guān)鍵．