Question

20．如圖所示，一木塊（可視為質點）沿傾角為θ的足夠長的固定斜面從某初始位置以v₀初速度向上運動，已知木塊與斜面之間的動摩擦因數為μ，規(guī)定木塊初始位置的重力勢能為零．試求木塊動能等于重力勢能處的高度（相對其初始位置）．
（本題可設v₀=4.5m/s，μ=0.35，θ=30°，求得上滑時木塊動能等于重力勢能處的高度${h_1}=\frac{v_0^2}{2g（2+μcotθ）}=0.38m$；上滑最大高度為$H=\frac{v_0^2}{2g（1+μcotθ）}=0.61m$，之后向下滑動，木塊動能等于重力勢能處的高度為${h_2}=\frac{1-μcotθ}{2-μcotθ}=0.15m$）

Answer 1

分析 當μ＞tanθ時，物體上升到最大高度后將停止在斜面上，根據動能定理即可求得上升的高度；當μ＜tanθ時，物體上升到最大高度后還將沿斜面加速下滑，根據動能定理求得即可

解答 解：（1）μ＞tanθ時，物體上升到最大高度后將停止在斜面上，設物體上升到高度為h₁處時，物體的動能和勢能相等，此時物體的速度為v₁，根據動能定理有：$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=-mgh-μmgcosθ•\frac{{h}_{1}}{sinθ}$
$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}=mg{h}_{1}$
解得${h}_{1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（2+\frac{μ}{tanθ}）}$
（2）μ＜tanθ時，物體上升到最大高度后還將沿斜面加速下滑．在上升過程中物體動能和勢能相等的高度表達式仍為上式．
設物體上升的最大高度為H，由動能定理得：
$0-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=-mgH-μmgcosθ•\frac{H}{sinθ}$
在下滑過程中，木塊動能等于勢能處的高度為h₂，此時物體的速度為v₂，根據動能定理有：
$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}=mg（H-{h}_{2}）-μmgcosθ•\frac{H-{h}_{2}}{sinθ}$
$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{\;}2=mg{h}_{2}$
解得h₂=$\frac{（tanθ-μ）}{（2tanθ-μ）（tanθ+μ）}•\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
答：木塊動能等于重力勢能處的高度當μ＞tanθ時為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（2+\frac{μ}{tanθ}）}$；μ＜tanθ時為$\frac{（tanθ-μ）}{（2tanθ-μ）（tanθ+μ）}•\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$

點評 本題主要考查了動能定理，關鍵是抓住物體的運動過程，分清物體能否靜止在斜面上，利用好動能定理解決