Question

10．如圖所示，水平面上固定著一個(gè)半徑R=0.4m的光滑圓環(huán)形軌道．在軌道內(nèi)放入質(zhì)量分別是M=0.2kg和m=0.1kg的小球A和B（均可看作質(zhì)點(diǎn)），兩小球間夾一輕質(zhì)短彈簧（彈簧的長度相對環(huán)形軌道的半徑和周長而言可忽略不計(jì)）．開始時(shí)，兩小球?qū)⑤p質(zhì)彈簧壓縮，已知壓縮彈簧在彈開前儲存的彈性勢能E=1.2J，彈簧釋放后，兩小球沿軌道反方向運(yùn)動(dòng)．
（1）求小球B在運(yùn)動(dòng)過程中的向心加速度大��；
（2）一段時(shí)間后兩小球又第一次相遇，在此過程中，小球A轉(zhuǎn)過的角度θ是多少？

Answer 1

分析 （1）彈簧釋放時(shí)，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒求得兩球的速度關(guān)系，結(jié)合機(jī)械能守恒求出速度，然后由向心加速度的表達(dá)式即可求出；
（2）兩球在同一個(gè)圓中運(yùn)動(dòng)，相遇時(shí)兩球轉(zhuǎn)過的角度正好是2π，可求解．

解答 解：（1）彈簧釋放時(shí)，選取A球運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎�方向，對AB兩球，由動(dòng)量守恒得：
Mv_A-mv_B=0
得：v_B=2v_A
彈簧釋放時(shí)，由系統(tǒng)能量守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$+$\frac{1}{2}M{v}_{A}^{2}$=E
代入數(shù)據(jù)得v_B=4m/s
對B：向心力F=$\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$=ma
所以向心加速度：a=$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}=\frac{{4}^{2}}{0.4}=40$rad/s
（2）當(dāng)兩球第一次相遇時(shí)，滿足ω_At+ω_Bt=2π
又：v_A=ω_AR    v_B=ω_BR
由于v_B=2v_A
所以：ω_B=2ω_A
代入上式得：3ω_At=2π
即：θ=$\frac{2}{3}π$
答：（1）小球B在運(yùn)動(dòng)過程中的向心加速度大小是40rad/s；
（2）A球轉(zhuǎn)過的角度$\frac{2}{3}π$．

點(diǎn)評 本題注意用整體法分析兩球的運(yùn)動(dòng)，注意應(yīng)用動(dòng)量守恒和動(dòng)能定理，可時(shí)解答簡便．