Question

20．如圖所示，摩托車(chē)做騰躍特技表演，以初速度v₀沿曲面沖上高0.8m、頂部水平的高臺(tái)，若摩托車(chē)沖上高臺(tái)的過(guò)程中始終以額定功率1.8kW行駛，經(jīng)過(guò)1.2s到達(dá)平臺(tái)頂部，到達(dá)頂部后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)油門(mén)，人和車(chē)落至地面時(shí)，恰能無(wú)碰撞地沿圓弧切線從A點(diǎn)切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑，人和車(chē)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度是v_A=5.0m/s，已知圓弧半徑為R=1.0m，θ=106°，人和車(chē)的總質(zhì)量為180kg，特技表演的全過(guò)程中不計(jì)一切阻力，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求
（1）人和車(chē)到達(dá)頂部平臺(tái)時(shí)的速度v₁；
（2）人和車(chē)運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（3）人和車(chē)速度v₀．

Answer 1

分析 （1）人和車(chē)離開(kāi)頂部平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由下落的高度求出到達(dá)A點(diǎn)時(shí)豎直分速度，根據(jù)A點(diǎn)的速度與水平方向的夾角為53°，求解速度v₁和A點(diǎn)的速度v₂．
（2）從A到O，由機(jī)械能守恒定律求出O點(diǎn)的速度，再由牛頓定律求人和車(chē)運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（3）對(duì)人和車(chē)上坡的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求人和車(chē)速度v₀．

解答 解：（1）人和車(chē)平拋過(guò)程，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)豎直分速度 v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
根據(jù)tan53°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$=$\frac{4}{3}$，得 v₁=3m/s
A點(diǎn)的速度 v₂=$\frac{{v}_{y}}{sin53°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
（2）從A到O，由機(jī)械能守恒定律得：
   mgR（1-cos53°）=$\frac{1}{2}m{v}_{O}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
在O點(diǎn)，由牛頓第二定律得
   F-mg=m$\frac{{v}_{O}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 F=7740N
由牛頓第三定律可知，人和車(chē)運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力 F′=F=7740N，方向豎直向下．
（3）對(duì)人和車(chē)上坡的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理得
  pt-mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=1m/s
答：
（1）人和車(chē)到達(dá)頂部平臺(tái)時(shí)的速度v₁是5m/s．
（2）人和車(chē)運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力是7740N，方向豎直向下．
（3）人和車(chē)速度v₀是1m/s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是將整個(gè)過(guò)程分成三個(gè)子過(guò)程研究，抓住隱含的條件，如到達(dá)A點(diǎn)速度方向與水平方向成53°，運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求速度是關(guān)鍵．