Question

如圖所示，長為R的輕繩，上端固定在O點，下端連一小球．小球接近地面，處于靜止狀態(tài)．現(xiàn)給小球一沿水平方向的初速度v₀，小球開始在豎直平面內(nèi)做圓周運動．設(shè)小球到達最高點時繩突然斷開．已知小球最后落在離小球最初位置2R的地面上．求：
（1）小球在最高點的速度v；
（2）小球的初速度v₀；
（3）小球在最低點時球?qū)�繩的拉力；
（4）如果細繩轉(zhuǎn)過60°角時突然斷開，則小球上升到最高點時的速度多大？（小球的質(zhì)量為m，重力加速度為g）．

Answer 1

分析：（1）小球離開最高點后做平拋運動，根據(jù)平拋運動的位移公式列式求解；
（2）小球從最低點到最高點過程，只有重力做功，根據(jù)機械能守恒定律列式求解；
（3）小球在最低點，受拉力和重力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列式求解；
（4）先對從最低點到轉(zhuǎn)動60°過程運用動能定理列式求出繩子轉(zhuǎn)動60°時的速度，最高點速度等于斜拋初速度的水平分量．

解答：解：（1）在水平方向有
2R=vt
在豎直方向有
2R=

1

2

gt²
解得v=

gR

即小球在最高點的速度v為

gR

．
（2）根據(jù)機械能守恒定律有

1

2

mv₀²-

1

2

mv²=mg2R
解得v₀=

5gR

即小球的初速度v_0為

5gR

．
（3）對小球分析有F-mg=m

v 2 0

R

解得F=6mg
由牛頓第三定律可知：
小球?qū)�繩子的拉力為6mg，方向向下．
（4）設(shè)繩斷時的速度為v₁，
有mgR（1-cos60°）=

1

2

mv₀²-

1

2

mv₁²
設(shè)小球在最高點時的速度為v₂，
有v₂=v₁cos60°
v₂=

gR

即小球上升到最高點時的速度為

gR

．

點評：本題關(guān)鍵是對小球圓周運動過程多次運用機械能守恒定律列式分析，同時平拋運動可以沿水平和豎直方向正交分解成兩個直線運動研究．