Question

如圖所示（1），在豎直平面內有一圓形軌道半徑R=0.1m，一質量m=1.0×10^-3kg的小球，可在內壁滑動．現在最低點處給小球一個水平初速度v₀，使小球在豎直平面內逆時針做圓周運動，已知小球始終受到一大小與速度大小成正比、方向沿徑向指向圓心的力作用，即F'=kv，其中k為常量．圖（2）是小球在豎直平面內做圓周運動的速率v隨時間變化的情況，圖（3）是小球所受軌道的彈力F隨時間變化的情況，已知小球能有兩次到達圓形軌道的最高點．結合圖象所給數據，g取10m/s²，試求：
（1）常量k的值；
（2）小球從開始運動至圖中速度為2m/s的過程中，摩擦力對小球做的功．

Answer 1

解：（1）t₂時刻小球到達軌道最高點時v=2m/s，軌道對小球的彈力F=0，根據牛頓第二定律得：
F′+mg=m
又F'=kv，
得到：kv+mg=m
代入解得：k=1.5×10^-2Ns/m
（2）t=0時刻，小球開始運動時，由圖（3）讀出F=8×10^-2N，設初速度大小為v₀，則有：
kv₀+F-mg=m
代入解得：v₀=3.5m/s
小球從開始運動至圖中速度為2m/s的過程中，指向圓心的力作用F'和軌道對小球的彈力始終不做功，根據動能定理得：
-2mgR+W=
解得：W=-2.125×10^-3J
答：（1）常量k為1.5×10^-2Ns/m；
（2）小球從開始運動至圖中速度為2m/s的過程中，摩擦力對小球做的功為-2.125×10^-3J．
分析：（1）由圖讀出t₂時刻小球到達軌道最高點時的速度為2m/s，軌道對小球的彈力為零，由重力和F'的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出k．
（2）t=0時刻，小球開始運動時，由圖（3）讀出F=8×10^-2N，由重力、F′和軌道的彈力F的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出初速度，由動能定理研究小球從開始運動至圖中速度為2m/s的過程，得出摩擦力對小球做的功．
點評：本題解題關鍵是讀懂圖象，找出圖（2）、（3）之間對應的關系．根據動能定理求阻力做功是常用的方法．