Question

【題目】一水平放置的橫截面積為的兩端封閉的玻璃管，其中充滿理想氣體，現(xiàn)用兩個(gè)質(zhì)量同為，厚度可略的活塞將該玻璃管分成、、三段，段、段長(zhǎng)度同為，段長(zhǎng)度為，兩活塞用長(zhǎng)為的不可伸長(zhǎng)且不會(huì)斷裂的輕質(zhì)細(xì)繩相連，三段中的氣體壓強(qiáng)都為，如圖所示，現(xiàn)將玻璃管以過(guò)其中心且垂直于玻璃管的直線為轉(zhuǎn)軸，以角速度做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)涉及過(guò)程為等溫過(guò)程，并且各段氣體內(nèi)部的壓強(qiáng)差異可略去，氣體的質(zhì)量相對(duì)于活塞質(zhì)量可以忽略

（1）角速度時(shí)，求最終兩活塞均在管中處于力平衡位置時(shí)，除去初態(tài)以外段氣體的可能長(zhǎng)度（有效數(shù)字保留3位）

（2）角速度時(shí)，求最終兩活塞均在管中處于力平衡位置時(shí)，除去初態(tài)以外段氣體的可能長(zhǎng)度（有效數(shù)字保留3位）

Answer 1

【答案】(1) (2) ，

【解析】

（1）假設(shè)旋轉(zhuǎn)后輕質(zhì)細(xì)繩保持為松弛狀態(tài)，如圖所示，段氣體壓強(qiáng)，長(zhǎng)度為，段氣體壓強(qiáng)，長(zhǎng)度為，段氣體壓強(qiáng)，長(zhǎng)度為．

左邊活塞與轉(zhuǎn)軸距離為，右邊活塞與轉(zhuǎn)軸距離為，則對(duì)、、三段氣體，由理想氣體等溫過(guò)程性質(zhì)可得，，，其中，．

對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的活塞運(yùn)用牛頓第二定律得，．

聯(lián)合以上方程，并令，，可得

，．

改寫(xiě)為． （*）

當(dāng)時(shí)，，解上式得兩個(gè)解，．

此時(shí)段氣體的長(zhǎng)度為，

段氣體長(zhǎng)度為，

段氣體長(zhǎng)度為．

由以上可知，時(shí)，細(xì)繩仍保持松弛，段氣體的長(zhǎng)度可能為．

此時(shí)兩活塞都在的同一側(cè)．

由于上述方程解中沒(méi)有出現(xiàn)段氣體長(zhǎng)度超過(guò)的解，所以繩子不會(huì)出現(xiàn)緊繃的情況．

（2）仍假設(shè)繩松弛，當(dāng)時(shí)，，解（*）式得4個(gè)解：

，，，，，，．

對(duì)應(yīng)段氣體長(zhǎng)度為，，，，，，．

段氣體長(zhǎng)度為 ，，，，，，．

段氣體長(zhǎng)度為 ，，，．

由以上的分析可知，前兩個(gè)解對(duì)應(yīng)繩松弛的狀態(tài)，即段氣體長(zhǎng)度為

，，．

此時(shí)兩個(gè)活塞都位于的同一側(cè)．

同時(shí)注意到有段長(zhǎng)度超過(guò)的解，所以繩子可能會(huì)出現(xiàn)緊繃的情況，假設(shè)繩子處于緊繃狀態(tài)，活塞受到的拉力為，則活塞的動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)?/span>

，．

由此同樣可得．

增加一個(gè)幾何關(guān)系為，即，

由此可得：．

但此時(shí)．

其中負(fù)號(hào)表示繩子對(duì)活塞的力不是拉力，而是排斥力，這不滿足軟繩的要求，所以不會(huì)出現(xiàn)繩子緊繃的解．

綜上，時(shí)，段氣體長(zhǎng)度可能為，，