Question

2．在光滑的水平長(zhǎng)直軌道上，有一長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1m的平板車，某時(shí)刻將一質(zhì)量為m=1kg的小滑塊輕放在平板車的右端，滑塊與車面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2．整個(gè)過程中平板車在外力控制下始終保持速度v₀=4m/s水平向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)．（取g=10m/s²，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.46）
（1）求小滑塊從放上平板車到滑離平板車左端所用的時(shí)間；
（2）當(dāng)滑塊輕放到平板車右端的同時(shí)，對(duì)滑塊m施加一個(gè)水平向右的恒力F，要保證滑塊不能從平板車的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足什么條件；
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從平板車上掉下，力F的作用總時(shí)間應(yīng)該在什么范圍內(nèi)．

Answer 1

分析 （1）小滑塊運(yùn)動(dòng)中，受到的合外力為滑動(dòng)摩擦力，則由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式小滑塊從放上平板車到滑離平板車左端所用的時(shí)間；
（2）由牛頓第二定律可求得滑塊運(yùn)動(dòng)的加速度，而當(dāng)滑塊恰好到達(dá)小車的左端時(shí)恰好與小車速度相同，即可保證滑塊不從車的左端掉下，則由臨界條件可求得F的條件；
（3）由牛頓第二定律可求得滑塊有力作用和撤去拉力后的加速度，則由平均速度公式可求得滑塊的距離，由速度公式可求得小車的位移，由臨界條件可得出兩位移間的關(guān)系；則可求得力F作用的范圍

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律，滑塊的加速度
$a=\frac{μmg}{m}=μg$
滑塊相對(duì)車滑動(dòng)的時(shí)間t，${x}_{車}^{\;}={v}_{0}^{\;}t$，${x}_{滑塊}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
滑塊相對(duì)車滑動(dòng)的距離${x}_{車}^{\;}=L+{x}_{滑塊}^{\;}$
解得：t=3.7s（舍去），t=0.3s
（2）設(shè)恒力F取最小值${F}_{1}^{\;}$，滑塊加速度為${a}_{1}^{\;}$，此時(shí)滑塊恰好到達(dá)車的左端，則
滑塊運(yùn)動(dòng)到車左端的時(shí)間${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}$
由幾何關(guān)系有${x}_{車}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}$，${x}_{滑塊}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}$
滑塊相對(duì)車滑動(dòng)的距離${x}_{車}^{\;}=L+{x}_{滑塊}^{\;}$
由牛頓定律有${F}_{1}^{\;}+μmg=m{a}_{1}^{\;}$
聯(lián)立上式代入數(shù)據(jù)解得：${t}_{1}^{\;}=0.5s$       ${F}_{1}^{\;}=6N$
則恒力F大小應(yīng)滿足條件是F≥6N
（3）力F取最小值，當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到車左端后為使滑塊恰不從右端滑出，相對(duì)車先做勻加速運(yùn)動(dòng)（設(shè)運(yùn)動(dòng)加速度為${a}_{2}^{\;}$，時(shí)間為${t}_{2}^{\;}$），
再做勻減速運(yùn)動(dòng)（設(shè)運(yùn)動(dòng)加速度大小為${a}_{3}^{\;}$，時(shí)間為${t}_{3}^{\;}$），到達(dá)車右端時(shí)，與車達(dá)共同速度，則有
${F}_{1}^{\;}-μmg=m{a}_{2}^{\;}$
$μmg=m{a}_{3}^{\;}$
對(duì)滑塊加速階段：${x}_{1}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$
減速階段：${x}_{2}^{\;}=（{v}_{0}^{\;}+{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}）{t}_{3}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{2}$
對(duì)車：${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=L+{v}_{0}^{\;}（{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}）$（也可以以平板車為參考系）
又因?yàn)椋?{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}={a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{\;}$
聯(lián)立上式代入數(shù)據(jù)解得：${t}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{6}}{6}≈0.41s$
則力F的作用時(shí)間t應(yīng)滿足${t}_{1}^{\;}≤t≤{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}$，即0.5≤t≤0.91s
答：（1）小滑塊從放上平板車到滑離平板車左端所用的時(shí)間0.3s；
（2）當(dāng)滑塊輕放到平板車右端的同時(shí)，對(duì)滑塊m施加一個(gè)水平向右的恒力F，要保證滑塊不能從平板車的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足條件F≥6N；
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從平板車上掉下，力F的作用總時(shí)間應(yīng)該在0.5≤t≤0.91s范圍內(nèi)

點(diǎn)評(píng) 本題中關(guān)鍵在于臨界條件的判定，要使滑塊能恰好不從車上掉下，則其臨界條件應(yīng)為滑塊剛好到達(dá)左端，且速度相等