Question

13．某種工業(yè)上用質譜儀將鈾離子從其他相關元素中分離出來，如圖所示，鈾離子通過U=100KV的電勢差加速后進入勻強磁場分離器，磁場中鈾離子的路徑為半徑r=1.00m的半圓，最后鈾離子從狹縫出來被收集在一只杯中，已知鈾離子的質量m=3.92×10^-25kg，電量q=3.20×10^-19C，如果該設備每小時分離出的鈾離子的質量m=100mg，則：（為便于計算$\sqrt{3.92}$≈2）
（1）求勻強磁場的磁感應強度
（2）計一小時內杯中所產生的內能
（3）計算離子流對杯產生的沖擊力．

Answer 1

分析 由于題目給出的是鈾離子做勻速圓周運動，所以可以不考慮鈾離子的重力．
（1）由洛侖茲力提供向心力，求出磁感應強度大�。�
（2）杯中產生的內能是由鈾離子撞擊而轉化而來，所以求出1小時撞擊杯子所有離子的動能，就能得到杯中所產生的內能．
（3）由動量定定理，正因為杯子對離子有阻力才使離子的速度減小為零，動量減小為零，求出阻力，再由牛頓第三定律求出離子對杯子的沖擊力．

解答 解（1）鈾離子在加速電場中加速時，由動能定理：
    $qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
  鈾離子做勻速圓周運動的向心力由洛侖茲力提供：
     $qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
  所以：$B=\frac{mv}{qr}=\frac{m\sqrt{\frac{2qU}{m}}}{qr}=\frac{1}{r}\sqrt{\frac{2Um}{q}}=\frac{1}{1}\sqrt{\frac{2×1{0}^{5}×3.92×1{0}^{-25}}{3.2×1{0}^{-19}}}$=0.5T
（2）每小時加速鈾離子的數目$n=\frac{M}{m}=\frac{100×1{0}^{-3}}{3.92×1{0}^{-25}}=2.56×1{0}^{24}$個，每個鈾離子加速獲得的動能為：
      ${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=Uq$
  這些動能全部轉化為內能，則n個鈾離子全部與杯子碰撞后產生的總的內能為：
 Q=nE_k=nUq=2.56×10²⁴×10⁵×3.2×10^-19J=8.19×10¹⁰J  
（3）經過1小時，把這些鈾離子看成一個整體據動理定理：
-F_Nt=0-Mv
  所以求得杯子對這些鈾的反彈力：${F}_{N}=\frac{Mv}{t}=\frac{100×1{0}^{-3}×\sqrt{\frac{2×1{0}^{5}×3.2×1{0}^{-19}}{3.92×1{0}^{-25}}}}{3600}N$=11.1N 
  據牛頓第三定律，離子對杯子的沖擊力大小等于11.1N．
答：（1）勻強磁場的磁感應強度為0.5T．
（2）一小時內杯中所產生的內能為8.19×10¹⁰J．
（3）這些離子流對杯產生的沖擊力為11.1N．

點評 本題是力與能兩方面內容的綜合，首先涉及到的是帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動問題，這完全是動力學問題．其次是離開磁場后運動的鈾離子與杯子碰撞，理所當然地動能全部轉化為內能了，最后又涉及到碰撞的力學問題，這是選修3-5內容，把這些碰撞的鈾當成一個整體由動理定理和牛頓第三定律求出沖擊力．