Question

19．如圖所示，兩根相距為L(zhǎng)的金屬軌道固定于水平面上，導(dǎo)軌電阻不計(jì)；一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)、單位長(zhǎng)度電阻為R的金屬棒兩端放于導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與金屬棒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，棒與導(dǎo)軌的接觸電阻不計(jì)．導(dǎo)軌左端連有阻值為2R的電阻．軌道平面上有n段豎直向下的寬度為a間距為b的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（a＞b），磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．金屬棒初始位于OO′處，與第一段磁場(chǎng)相距2a．求：
（1）若金屬棒有向右的初速度v₀，為使金屬棒保持v₀的速度一直向右穿過(guò)各磁場(chǎng)，需對(duì)金屬棒施加一個(gè)水平向右的拉力．求金屬棒不在磁場(chǎng)中時(shí)受到的拉力F₁和在磁場(chǎng)中時(shí)受到的拉力F₂的大��；
（2）在（1）的情況下，求金屬棒從OO′開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到剛離開(kāi)第n段磁場(chǎng)過(guò)程中，拉力所做的功；
（3）若金屬棒初速度為零，現(xiàn)對(duì)其施以水平向右的恒定拉力F，使棒進(jìn)入各磁場(chǎng)的速度都相同，求金屬棒從OO′開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到剛離開(kāi)第n段磁場(chǎng)整個(gè)過(guò)程中導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）金屬棒在進(jìn)入磁場(chǎng)前，不受安培力作用，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力與摩擦力平衡；在進(jìn)入磁場(chǎng)后，金屬棒切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力與摩擦力和安培力平衡．根據(jù)平衡條件和電磁感應(yīng)知識(shí)，可求出拉力．
（2）利用功的公式，求出拉力做的總功．
（3）進(jìn)入磁場(chǎng)前，拉力和摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理，求出金屬棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．進(jìn)入在磁場(chǎng)時(shí)，拉力、摩擦力和安培力做功，根據(jù)能量守恒定律求出熱量

解答 解：（1）金屬棒保持v₀的速度做勻速運(yùn)動(dòng)．
金屬棒不在磁場(chǎng)中
F₁=f=μmg ①
金屬棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電路中的感應(yīng)電流為I，
F₂=f+BIL ②
由閉合電路歐姆定律
I=$\frac{E}{2R+RL}$=$\frac{BL{v}_{0}}{（2+L）R}$ ③
由②③可得
F₂=μmg+$\frac{BL{v}_{0}}{（2+L）R}$
（2）金屬棒在非磁場(chǎng)區(qū)拉力F₁所做的功為
W₁=F₁[2a+（n-1）b]=μmg[2a+（n-1）b]④
金屬棒在磁場(chǎng)區(qū)拉力F₂所做的功為
W₂=F₂na=（μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{（2+L）R}$）na
 故拉力做功為：W=W₁+W₂=μmg[2a+（n-1）b]+nF₂a=μmg[2a+（n-1）b]+（μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{（2+L）R}$）na
（3）金屬棒進(jìn)入各磁場(chǎng)時(shí)的速度均相同，等于從OO’運(yùn)動(dòng)2a位移第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₁，要保證金屬棒進(jìn)入各磁場(chǎng)時(shí)的初速度都相同，金屬棒在磁場(chǎng)中做減速度運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)磁場(chǎng)后再做加速度運(yùn)動(dòng)．金屬棒每經(jīng)過(guò)一段磁場(chǎng)克服安培力所做的功都相同，設(shè)為W_電；棒離開(kāi)每一段磁場(chǎng)時(shí)速度也相同，設(shè)為v₂．由動(dòng)能定理有
F．a(chǎn)-μmg•a-W_電=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ ⑦
（F-μmg）b=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$ ⑧
由⑦⑧可得W_電=（F-μmg）（a+b）
Q_總=nW_電
整個(gè)過(guò)程中導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量為
Q=$\frac{2n{W}_{電}}{2+L}$=$\frac{2}{2+L}$n（F-μmg）（a+b）
答：（1）金屬棒不在磁場(chǎng)中時(shí)受到的拉力F₁為μmg，在磁場(chǎng)中時(shí)受到的拉力F₂的大小為μmg+$\frac{BL{v}_{0}}{（2+L）R}$；
（2）在（1）的情況下，求金屬棒從OO′開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到剛離開(kāi)第n段磁場(chǎng)過(guò)程中，拉力所做的功為μmg[2a+（n-1）b]+（μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{（2+L）R}$）na；
（3）若金屬棒初速度為零，現(xiàn)對(duì)其施以水平向右的恒定拉力F，使棒進(jìn)入各磁場(chǎng)的速度都相同，求金屬棒從OO′開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到剛離開(kāi)第n段磁場(chǎng)整個(gè)過(guò)程中導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量為$\frac{2n{W}_{電}}{2+L}$=$\frac{2}{2+L}$n（F-μmg）（a+b）．

點(diǎn)評(píng) 本題分析受力是基礎(chǔ)，關(guān)鍵從能量轉(zhuǎn)化和守恒角度來(lái)求解，解題時(shí)要注意抓住使棒進(jìn)入各磁場(chǎng)的速度都相同，以及通過(guò)每段磁場(chǎng)時(shí)電路中發(fā)熱量均相同的條件．