Question

16．如圖所示，以A、B和C、D為端點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑水平面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C．一物塊被輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上E點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到A時(shí)剛好與傳送帶速度相同，然后經(jīng)A沿半圓軌道滑下，再經(jīng)B滑上滑板．滑板運(yùn)動(dòng)到C時(shí)被牢固粘連．物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量M=2m，兩半圓半徑均為R，板長(zhǎng)l=6.5R，E距A為s=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5，重力加速度取g．
（1）求物塊滑到B點(diǎn)的速度大��；
（2）若板右端到C的距離L足夠大，求當(dāng)兩物體共速時(shí)板滑行的距離；
（3）若板右端到C的距離L在R＜L＜5R范圍內(nèi)到值，試討論物塊從滑上滑板到離開滑板右端的過程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）物塊滑到B點(diǎn)經(jīng)過了兩個(gè)過程，先是在傳送帶上的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求A點(diǎn)速度；A到B的過程機(jī)械能守恒可求B點(diǎn)的速度．
（2）應(yīng)用動(dòng)量守恒、動(dòng)能定理求出物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)的位移，判斷物塊有沒有離開滑板；
（3）應(yīng)用功的計(jì)算公式求出克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)到A和B點(diǎn)的速度分別為v₁、v₂，
由動(dòng)能定理得：μmgs=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
由機(jī)械能守恒定律：$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁²+mg•2R
解得：v₂=3$\sqrt{gR}$；
（2）設(shè)滑板與物塊達(dá)到共同速度v₃時(shí)，位移分別為l₁、l₂，
以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律mv₂=（m+M）v₃，
由動(dòng)能定理得：μmgl₁=$\frac{1}{2}$Mv₃²，
-μmgl₁=$\frac{1}{2}$mv₃²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
聯(lián)立③④⑤⑥，得 l₁=2R　l₂=8R
（3）物塊相對(duì)滑板的位移△l=l₂-l₁ △l＜l，
即物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，物塊未離開滑板，
物塊滑到滑板右端時(shí)，
若R＜L＜2R，W_f=μmg（l+L），
W_f=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L），
若2R≤L＜5R，W_f=μmg（l+l₁），
W_f=$\frac{17}{4}$mgR；
答：（1）物塊滑到B點(diǎn)的速度大小為3$\sqrt{gR}$；
（2）若板右端到C的距離L足夠大，當(dāng)兩物體共速時(shí)板滑行的距離為2R；
（3）克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系為：①若R＜L＜2R，W_f=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L）；②若2R≤L＜5R，W_f=$\frac{17}{4}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒以及有摩擦的板塊模型中克服摩擦力做的功．判斷物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，物塊未離開滑板是關(guān)鍵，是一道比較困難的好題．