Question

16．如圖甲所示，在xOy平面內(nèi)有足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向豎直向上，電場(chǎng)強(qiáng)度E=40N/C．在y軸左側(cè)平面內(nèi)有足夠大的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖乙所示（不考慮磁場(chǎng)變化所產(chǎn)生電場(chǎng)的影響），15π s后磁場(chǎng)消失，選定磁場(chǎng)垂直紙面向里為正方向．在y軸右側(cè)平面內(nèi)分布一個(gè)垂直紙面向外的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），半徑r=0.3m，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=0.8T，且圓的左側(cè)與y軸始終相切．T=0時(shí)刻，一質(zhì)量m=8×10^-4 kg、電荷量q=+2×10^-4 C的微粒從x軸上x(chóng)_P=-0.8m處的P點(diǎn)以速度v=0.12m/s沿x軸正方向射入，經(jīng)時(shí)間t后，從y軸上的A點(diǎn)進(jìn)入第一象限并正對(duì)磁場(chǎng)圓的圓心．穿過(guò)磁場(chǎng)后擊中x軸上的M點(diǎn)．（g取10m/s²、π=3，最終結(jié)果保留2位有效數(shù)字）求：

（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)y_A及從P點(diǎn)到A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．
（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)x_M．
（3）要使微粒在圓形磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角最大，應(yīng)如何移動(dòng)圓形磁場(chǎng)？請(qǐng)計(jì)算出最大偏轉(zhuǎn)角．

Answer 1

分析 （1）粒子在存在磁場(chǎng)時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出軌道半徑和周期，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析；
（2）微粒進(jìn)入圓形磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系列式分析；
（3）要使微粒在圓形磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角最大，則偏轉(zhuǎn)角最大，對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)必須滿(mǎn)足入射點(diǎn)與出射點(diǎn)連線為磁場(chǎng)圓的直徑．

解答 解：（1）由于F_電=qE=8×10^-3 N=mg，所以微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，故：qvB₁=m$\frac{v^2}{R_1}$，
解得：R₁=0.6 m，
周期T=$\frac{2πm}{{q{B_1}}}$=10π s；
0～5π s勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑R₁＜|x_P|，
微粒運(yùn)行半個(gè)圓周后到點(diǎn)C：x_C=-0.8 m，y_C=2R₁=1.2 m；
5π～10π s向左做勻速運(yùn)動(dòng)，位移大�。簊₁=v$\frac{T}{2}$=$\frac{3π}{5}$ m=1.8 m，
運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)：x_D=-2.6 m，y_D=1.2 m；
10π～15π s微粒又做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)：x_E=-2.6 m，y_E=4R₁=2.4 m；
15π s后磁場(chǎng)消失，故此后微粒做勻速運(yùn)動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)：y_A=4R₁=2.4 m；
軌跡如圖所示：

從P到A的時(shí)間：t=15π+t_EA（或者t=2T+$\frac{|xP|}{v}$），所以t≈67 s
（2）微粒進(jìn)入圓形磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：R₂=$\frac{mv}{{q{B_2}}}$=0.6 m，
設(shè)軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則tan $\frac{θ}{2}$=$\frac{r}{R_2}$=$\frac{1}{2}$，
M點(diǎn)：x_M=r+$\frac{y_A}{tanθ}$=（0.3+$\frac{2.4}{tanθ}$） m
由數(shù)學(xué)知識(shí)可得：tan θ=$\frac{{2tan\frac{θ}{2}}}{{1-ta{n^2}\frac{θ}{2}}}$=$\frac{4}{3}$，
所以x_M=2.1 m
（3）微粒穿過(guò)圓形磁場(chǎng)要求偏轉(zhuǎn)角最大，必須滿(mǎn)足入射點(diǎn)與出射點(diǎn)連線為磁場(chǎng)圓的直徑，則圓形磁場(chǎng)應(yīng)沿y軸負(fù)方向移動(dòng)0.15 m，因?yàn)镽₂=2r，
所以最大偏轉(zhuǎn)角為：θ′=60°．
答：（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)y_A及從P點(diǎn)到A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間67s；
（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)×_x為2.1m；
（3）要使微粒在圓磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角最大，應(yīng)圓形磁場(chǎng)應(yīng)沿y軸負(fù)方向移動(dòng)0.15（m），
且計(jì)算出最大偏轉(zhuǎn)角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源，根據(jù)牛頓第二定律列式分析，要畫(huà)出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系列式分析，不難．