Question

4．如圖所示，間距為L(zhǎng)=0.45m的帶電金屬板M、N豎直固定在絕緣平面上，板間形成勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=1.5×10⁴V/m．N板接地（電勢(shì)為零），其中央有一小孔，一根水平絕緣細(xì)桿通過(guò)小孔，其左端固定在極板M上．現(xiàn)有一質(zhì)量m=0.05kg，帶電量q=+5.0×10^-6C的帶正電小環(huán)套在細(xì)桿上，小環(huán)與細(xì)桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1．小環(huán)以一定的初速度對(duì)準(zhǔn)小孔向左運(yùn)動(dòng)，若小環(huán)與金屬板M發(fā)生碰撞，碰撞中能量不損失（即碰后瞬間速度大小不變）．設(shè)帶電環(huán)大小不計(jì)且不影響金屬板間電場(chǎng)的分布（g取10m/s²）．求：
（1）帶電小環(huán)以多大的初速度v₀進(jìn)入電場(chǎng)，才能恰好到達(dá)金屬板M？
（2）若帶電小環(huán)以初速度v₁=1m/s進(jìn)入電場(chǎng)，當(dāng)其動(dòng)能等于電勢(shì)能時(shí)，距離N板多遠(yuǎn)？
（3）小環(huán)至少以多大的初速度v₂進(jìn)入電場(chǎng)，它在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)找不到動(dòng)能與電勢(shì)能相等的點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）小環(huán)進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力與摩擦力共同作用下減速直到M板，速度變?yōu)榱�，根�?jù)動(dòng)能定理即可求得初速度；
（2）帶電小環(huán)以初速度v₁=1m/s進(jìn)入電場(chǎng)后先向左作減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其動(dòng)能等于電勢(shì)能時(shí)，設(shè)它距離N板為x，根據(jù)動(dòng)能定理即可求得x，還有一種情況，當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到左邊最遠(yuǎn)點(diǎn)并向右返回到小孔的過(guò)程中，也可能會(huì)出現(xiàn)動(dòng)能等于電勢(shì)能．設(shè)它向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為d，根據(jù)動(dòng)能定理即可求解；
（3）小環(huán)以初速度v₂進(jìn)入電場(chǎng)后，若它運(yùn)動(dòng)到M板時(shí)的動(dòng)能大于其電勢(shì)能，則它在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)找不到動(dòng)能與電勢(shì)能相等的點(diǎn)．

解答 解：（1）小環(huán)進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力和摩擦力共同作用下減速直到M板，速度變?yōu)榱�，根�?jù)動(dòng)能定理有
$-qEL-μmgL=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2（qE+μmg）L}{m}}$=$\sqrt{\frac{2（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+0.1×0.05×10）×0.45}{o.05}}$=1.5m/s
（2）帶電小環(huán)以初速度${v}_{1}^{\;}=1m/s$進(jìn)入電場(chǎng)后先向左做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其動(dòng)能等于電勢(shì)能時(shí)，設(shè)它距離N板為x，有
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-qEx-μmgx=qEx$
解得：$x=\frac{m{v}_{1}^{2}}{4qE+2μmg}$=$\frac{0.05×{1}_{\;}^{2}}{4×5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+2×0.1×0.05×10}$=0.125m
還有一種情況，當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到左邊最遠(yuǎn)點(diǎn)并向右返回到小孔的過(guò)程中，也可能會(huì)出現(xiàn)動(dòng)能等于電勢(shì)能．設(shè)它向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為d，根據(jù)動(dòng)能定理有
$-qEd-μmgd=0-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：$d=\frac{m{v}_{1}^{2}}{2（qE+μmg）}$=$\frac{0.05×{1}_{\;}^{2}}{2×（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+0.1×0.05×10）}$=0.2m
當(dāng)其動(dòng)能等于電勢(shì)能時(shí)，設(shè)它距離N板為y，有qE（d-y）-μmg（d-y）=qEy
解得$y=\frac{（qE-μmg）d}{2qE-μmg}$=$\frac{（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}-0.1×0.05×10）×0.2}{2×5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}-0.1×0.05×10}$=0.05m
（3）小環(huán)以初速度v₂進(jìn)入電場(chǎng)后，若它運(yùn)動(dòng)到M板時(shí)的動(dòng)能大于其電勢(shì)能，則它在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)找不到動(dòng)能與電勢(shì)能相等的點(diǎn)
$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-（qE+μmg）L＞qEL$
得${v}_{2}^{\;}＞\sqrt{\frac{2（qE+μmg）L}{m}}$=$\sqrt{\frac{2（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+0.1×0.05×10）×0.45}{0.05}}$=$\sqrt{3.6}m/s≈1.9m/s$
答：（1）帶電小環(huán)以初速度1.5m/s進(jìn)入電場(chǎng)，才能恰好到達(dá)金屬板M；
（2）若帶電小環(huán)以初速度v₁=1m/s進(jìn)入電場(chǎng)，當(dāng)其動(dòng)能等于電勢(shì)能時(shí)，距離N板的距離為0.125m或0.05m；
（3）小環(huán)至少以1.9m/s的初速度進(jìn)入電場(chǎng)，它在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)找不到動(dòng)能與電勢(shì)能相等的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理在帶電離子電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用，要求同學(xué)們能選取適當(dāng)?shù)倪^(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理解題，難度適中．