Question

18．AB是豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧形軌道，在下端B點(diǎn)與水平軌道相切，如圖所示，一小球自A點(diǎn)起由靜止開始沿軌道下滑．已知圓軌道半徑為R，小球的質(zhì)量為m，不計(jì)各處摩擦．求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；
（2）小球下滑到距水平軌道的高度為$\frac{1}{2}$R時(shí)的速度大小和方向．
（3）小球經(jīng)過圓弧軌道的B點(diǎn)和水平軌道的C點(diǎn)時(shí)，所受軌道支持力各是多大．

Answer 1

分析 （1）從A到B過程，機(jī)械能守恒，即可求出小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒可以求得小球下滑到距水平面$\frac{1}{2}R$時(shí)的速度大小和方向；
（3）對小球受力分析，由牛頓第二定律可以求得支持力大�。�

解答 解：（1）小球從A到B過程中，機(jī)械能守恒：
所以${E}_{KB}^{\;}=mgR$
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒，$△{E}_{K增}^{\;}=△{E}_{p減}^{\;}$
$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}mgR$
所以小球速度大小$v=\sqrt{gR}$，速度方向沿圓弧的切線向下，小球距水平面高度為$\frac{1}{2}R$，由三角形的關(guān)系可知，小球與豎直方向的夾角為30°
（3）根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律及機(jī)械能守恒，在B點(diǎn)：
${F}_{NB}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：${F}_{NB}^{\;}=3mg$
在C點(diǎn)時(shí)，小球受力平衡，所以${F}_{NC}^{\;}=mg$
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為mgR；
（2）小球下滑到距水平軌道的高度為$\frac{1}{2}$R時(shí)的速度大小為$\sqrt{gR}$、方向y沿沿圓弧的切線向下，與豎直方向成30°．
（3）小球經(jīng)過圓弧軌道的B點(diǎn)和水平軌道的C點(diǎn)時(shí)，所受軌道支持力分別為3mg、mg

點(diǎn)評 直接利用機(jī)械能守恒可以求得本題的結(jié)論，小球在B點(diǎn)時(shí)是圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，在此時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)需要向心力．