Question

17．如圖所示，一個(gè)足夠長的斜面，AC部分的長度為4L，C點(diǎn)以下光滑，C點(diǎn)以上粗糙，B是AC的中點(diǎn)．一根原長為2L的輕彈簧下端固定在A點(diǎn)，上端放置一個(gè)長為L、質(zhì)量為m的均勻木板PQ，木板靜止時(shí)，彈簧長度變?yōu)?\frac{7}{4}$L．已知斜面的傾角為θ，木板與斜面粗糙部分的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=2tanθ，木板受到的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g．現(xiàn)將木板沿斜面緩慢下壓，當(dāng)彈簧長度變?yōu)長時(shí)，釋放木板，發(fā)現(xiàn)木板的Q端剛好能到達(dá)C點(diǎn)；求：

（1）彈簧的勁度系數(shù)；
（2）若木板被截掉三分之一后，再次將木板沿斜面緩慢下壓，當(dāng)彈簧長度變?yōu)長時(shí)，釋放木板，求木板上端到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（3）若將木板換成一質(zhì)量為$\frac{m}{2}$可看作質(zhì)點(diǎn)的物塊，再次將物塊沿斜面緩慢下壓，當(dāng)彈簧長度變?yōu)長時(shí)，釋放物塊，求物塊被釋放后能在斜面粗糙部分前進(jìn)的距離．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)木板靜止時(shí)，對(duì)木板受力分析，運(yùn)用平衡條件和胡克定律求彈簧的勁度系數(shù)．
（2）木板從被釋放至Q端到C點(diǎn)，利用動(dòng)能定理列式．木板被截掉三分之一后再被彈簧彈開，再運(yùn)用動(dòng)能定理列式，聯(lián)立可得木板上端到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊被釋放后能在斜面粗糙部分前進(jìn)的距離．

解答 解：（1）當(dāng)木板靜止時(shí)，對(duì)木板受力分析，由力的平衡有：$k（2L-\frac{7}{4}L）=mgsinθ$，
解得彈簧的勁度系數(shù)k=$\frac{4mgsinθ}{L}$．
（2）木板從被釋放至Q端到C點(diǎn)，設(shè)彈簧彈力做功為W，由動(dòng)能定理有：
W-mg•2Lsinθ=0
木板被截掉三分之一后再被彈簧彈開，設(shè)木板上端到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理有：
W-$\frac{2}{3}mg•\frac{7}{3}Lsinθ=\frac{1}{2}•\frac{2}{3}m{{v}_{C}}^{2}$，
聯(lián)立解得v_C=$\sqrt{\frac{4gLsinθ}{3}}$．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理得，$W-\frac{1}{2}mg•3Lsinθ-\frac{1}{2}mgssinθ$$-μ•\frac{1}{2}mgcosθ•s$=0，
解得s=$\frac{L}{3}$．
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)為$\frac{4mgsinθ}{L}$．
（2）木板上端到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{4gLsinθ}{3}}$．
（3）物塊被釋放后能在斜面粗糙部分前進(jìn)的距離為$\frac{L}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要抓住木板恰好靜止在斜面上的臨界條件：重力沿斜面向下的分力等于最大靜摩擦力．運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)，要注意選取研究的過程．