Question

2．在某星球上有一套如圖甲所示的裝置：水平面左側(cè)豎直擋板上固定一輕質(zhì)彈簧，彈簧自由狀態(tài)下右端處于A位置．可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為M的小球1靜止于A點(diǎn)但與彈簧不粘連．水平面右側(cè)B點(diǎn)的正上方，有一長(zhǎng)度為R且可繞水平轉(zhuǎn)動(dòng)軸O在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)的輕桿，輕桿下端連著一質(zhì)量未知的小球2，靜止時(shí)小球2恰在B點(diǎn)．開始時(shí)使小球1向左壓縮彈簧，而后靜止釋放，小球1運(yùn)動(dòng)到B瞇后與桿上的小球2碰撞，并將其動(dòng)能的一部分傳遞給小球2，使小球2在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．利用裝置上方的速度傳感器和O點(diǎn)的力傳感器，可測(cè)量小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度與小球在最高點(diǎn)時(shí)桿受彈力的大�。▊鞲衅魑串嫵觯�，多次壓縮彈簧，重復(fù)上述過程，與傳感器相連的計(jì)算機(jī)最后擬合出的Fv²圖象如圖乙所示，圖象中的a、b、c為已知值．已知水平面AB段長(zhǎng)L，與小球1之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，其它部分摩擦不計(jì)，求：

（1）小球2的質(zhì)量m；
（2）當(dāng)v²=c時(shí)，桿受小球彈力的大小和方向；
（3）若球1與球2相撞，球1動(dòng)能的$\frac{3}{4}$傳遞給球2，球2運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)桿中彈力恰為0，這種情形下壓縮彈簧所具有的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）由圖乙分析小球在各點(diǎn)處的速度與力之間的關(guān)系，根據(jù)向心力公式列式聯(lián)立即可求得物體的質(zhì)量；
（2）分析當(dāng)v²=c時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)向心力公式即可求得桿受小球彈力的大小和方向；
（3）小球2從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒列式，再對(duì)球1碰撞前過程由機(jī)械能守恒列式，聯(lián)立即可求得碰撞前彈簧的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）到最高點(diǎn)速度為0時(shí)，彈力F=a=mg
彈力為零時(shí)，v²=b，又mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
所以g=$\frac{R}$
解得：m=$\frac{a}{g}$=$\frac{aR}$；
（2）v²大于b時(shí)，小球受到向下的拉力，
由向心力公式可得：mg+T=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
T=m$\frac{{v}^{2}}{R}$-mg=a（$\frac{c}$-1）
由牛頓第三定律可知，桿受到的拉力為：a（$\frac{c}$-1），方向豎直向上；
（3）小球2從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得；
$\frac{1}{2}$mv_B²=2mgR+$\frac{1}{2}$mv²
小球1在AB段運(yùn)動(dòng)的過程中，由動(dòng)能定理得：
E_kA=μMgL+$\frac{1}{2}$Mv₁²=μMgL+$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{2}$mv_B²
E_P=E_kA=μML$\frac{R}$+$\frac{10}{3}aR$
答：（1）小球2的質(zhì)量m為$\frac{aR}$
（2）當(dāng)v²=c時(shí)，桿受小球彈力的大小和方向?yàn)閍（$\frac{c}$-1），方向豎直向上；
（3）壓縮彈簧所具有的最大彈性勢(shì)能μML$\frac{R}$+$\frac{10}{3}aR$

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律以及向心力公式的應(yīng)用，要注意分析圖象中速度和力之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要能從圖中找出物體的受力特點(diǎn)，從而根據(jù)向心力公式求解，同時(shí)注意機(jī)械能守恒定律的正確應(yīng)用．