Question

2011年11月3日凌晨，我國(guó)“神舟八號(hào)”飛船與“_天宮一號(hào)”實(shí)現(xiàn)完美對(duì)接，標(biāo)志著我國(guó)的航天事業(yè)又邁出了堅(jiān)實(shí)的一步，不久的將來(lái)我國(guó)宇航員也將登陸月球．假設(shè)某次登陸活動(dòng)中，宇航員為了測(cè)定月球表面的重力加速度，做了如下探究：將直徑為d的光滑環(huán)形軌道豎直固定，在軌道最高點(diǎn)安裝一個(gè)壓力傳感器P，讓小滑塊在軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．當(dāng)小滑塊經(jīng)過(guò)軌道最高點(diǎn)速度為V時(shí)，傳感器測(cè)得的壓力恰為零．已知月球的半徑為R_月．
（1）試求月球表面的重力加速度G_月；
（2）若給月球發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，試計(jì)算衛(wèi)星的運(yùn)行周期應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）小球從圓軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過(guò)程中，只有月球的引力做負(fù)功，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，由月球的引力提供其圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律列方程，即可求得月球表面的重力加速度．
（2）由月球表面的物體的重力約等于物體與月亮的萬(wàn)有引力可得月球的質(zhì)量；在月球表面上發(fā)射衛(wèi)星的條件是，衛(wèi)星的速度滿足萬(wàn)有引力提供勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律列方程即可．
解答：解：（1）由于小滑塊恰能通過(guò)軌道最高點(diǎn)，所以有：mG_月=m ①
    R=  ②
聯(lián)立①②解得：G_月=  ③
（2）衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)萬(wàn)有引力等于向心力，即
  G=m  ④
在月球表面，萬(wàn)有引力近似等于其重力，即
 G=mG_月  ⑤
聯(lián)立④⑤解得 T=2  ⑥
當(dāng)衛(wèi)星貼近月球表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，r≈R_月，此時(shí)運(yùn)動(dòng)周期最短，故T′≥2  ⑦
又由③式可得T′≥
答：
（1）月球表面的重力加速度G_月為．
（2）若給月球發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，衛(wèi)星的運(yùn)行周期應(yīng)滿足的條件是T′≥．
點(diǎn)評(píng)：在任意星體的表面都有物體的萬(wàn)有引力等于重力這一等式常用，所謂第一宇宙速度即是萬(wàn)有引力恰提供其繞星球表面運(yùn)行的向心力時(shí)的速度，此時(shí)軌道半徑就是星球的半徑．