Question

如圖所示，在傾角為θ的固定的足夠長(zhǎng)斜面上靜置一質(zhì)量為m的小物塊A，A與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=tanθ．另有一底面光滑、質(zhì)量為

m

7

的小物塊B在斜面上與A相距為L(zhǎng)處由靜止釋放，向A運(yùn)動(dòng)并與A相碰，碰撞時(shí)間極短，碰后A的速度為B碰前速度的

1

4

，求：
（1）在第1次碰撞后至第2次碰撞前，A、B之間的最大距離；
（2）B從開(kāi)始下滑至第2次與A碰撞的過(guò)程中重力對(duì)它做的功．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出B與A碰撞前的速度，因?yàn)锳所受的摩擦力和重力的分力相等，碰撞過(guò)程AB組成的系統(tǒng)在沿斜面方向動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出碰后A、B的速度，碰后A做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，B做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，相距最遠(yuǎn)．結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出兩者的最大距離．
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出B從開(kāi)始下滑至第2次與A碰撞的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的位移，從而求出重力做功的大小．

解答：解：（1）設(shè)小物塊B運(yùn)動(dòng)到A處時(shí)速度為v_B，由動(dòng)能定理得：

m

7

gLsinθ=

1

2

m

7

v

2 B

，
解得

v

2 B

=2gLsinθ①
B、A相碰，由動(dòng)量守恒定律得：

m

7

vB=

m

7

vB′+mvA②
依題意，A碰后速度vA=

1

4

vB③
由①～③式解得B碰后速度vB′=-

3

4

vB④
對(duì)A，因?yàn)棣?tanθ故mgsinθ=μmgcosθ，碰后A沿斜面向下做勻速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)B、A碰撞后經(jīng)t₁時(shí)間速度相同，則t₁時(shí)刻A、B之間的距離最大，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：vA=vB′+gsinθ?t1⑤
t₁時(shí)間內(nèi)A的位移s_A=v_At₁⑥
t₁時(shí)間內(nèi)B的位移sB=

vB′+vA

2

t1⑦
A、B之間的最大距離：△s_m=s_A-s_B⑧
由③～⑧式可得，A、B之間的最大距離△s_m=L⑨
（2）第1次碰撞結(jié)束時(shí)，B與A距離為零，第2次即將碰撞時(shí)B與A距離仍為零，設(shè)兩次碰撞時(shí)間間隔為t₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：
t₂時(shí)間內(nèi)A的位移sA′=vAt2⑩
t₂時(shí)間內(nèi)B的位移sB′=vB′t2+

1

2

gsinθ?t22
sA′=sB′
B從開(kāi)始下滑至第2次與A碰撞時(shí)重力對(duì)它做的功為：W=

m

7

gsinθ(SB′+L)
由以上各式解得W=

2mgLsinθ

7

答：（1）在第1次碰撞后至第2次碰撞前，A、B之間的最大距離為L(zhǎng)．
（2）B從開(kāi)始下滑至第2次與A碰撞的過(guò)程中重力對(duì)它做的功為

2mgLsinθ

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和推論，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)過(guò)程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．