Question

2．如圖所示，質(zhì)量為m的跨接桿ab可以無摩擦地沿水平的導(dǎo)軌滑行，兩軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌與電阻R連接，放在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感強(qiáng)度為B．桿從x軸原點(diǎn)O以大小為v₀的水平初速度向右滑行，直到靜止．已知桿在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中速度v和位移x的函數(shù)關(guān)系是：v=v₀-B²L²$\frac{x}{mR}$．桿及導(dǎo)軌的電阻均不計(jì)．
（1）試求桿所受的安培力F隨其位移x變化的函數(shù)式．
（2）求出桿開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)過程中通過R的電量．
（3）求從開始到滑過的位移為全程一半時(shí)電路中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）桿在磁場(chǎng)中向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到向左的安培阻力作用，根據(jù)F=BIL，I=$\frac{BLv}{R}$，以及桿的速度v和位移x的函數(shù)關(guān)系式v=v₀-B²L²$\frac{x}{mR}$，聯(lián)立即可得到安培力F隨其位移x變化的函數(shù)式．
（2）根據(jù)動(dòng)量定理和電量公式q=It求解電量q．
（3）先求出滑動(dòng)到一半位移時(shí)的速度，桿在運(yùn)動(dòng)過程中，桿減少的動(dòng)能完全轉(zhuǎn)化為電阻R的熱量，根據(jù)能量守恒求解電阻R產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）桿在磁場(chǎng)中向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受的安培力為：F=BIL，其中：I=$\frac{BLv}{R}$，
據(jù)題意，桿的速度v和位移x的函數(shù)關(guān)系為：v=v₀-B²L²$\frac{x}{mR}$，
所以有：F=$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R}$v=$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R}$（v₀-B²L²$\frac{x}{mR}$）
由上式可知，安培力F與位移x成線性關(guān)系．
（2）根據(jù)動(dòng)量定理得：-B$\overline{I}$L△t=0-mv₀，
則有：q=I△t=$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{BL}$
（3）當(dāng)v=0時(shí)，$x=\frac{mR{v}_{0}^{\;}}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$
當(dāng)$x′=\frac{x}{2}$時(shí)，$v={v}_{0}^{\;}-{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}×\frac{1}{mR}×\frac{1}{2}×\frac{mR{v}_{0}^{\;}}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}$
根據(jù)能量守恒：${Q}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}）_{\;}^{2}=\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$
答：（1）桿所受的安培力F隨其位移x變化的函數(shù)式為F=$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R}$（v₀-B²L²$\frac{x}{mR}$）．
（2）桿開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)過程中通過R的電量q為=$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{BL}$．
（3）桿開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)過程中電阻R產(chǎn)生的熱量Q為$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題中電磁感應(yīng)中力學(xué)問題，分析和計(jì)算安培力是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用能量守恒、歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律及并聯(lián)、串聯(lián)的特點(diǎn)進(jìn)行分析和求解．