Question

一宇航員站在某質量分布均勻的星球表面上沿豎直方向以初速度v₀拋出一個小球，測得小球經時間t落回拋出點，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球的密度
（2）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）小球做豎直上拋運動，由公式V=V₀+at可求得該星球表面的重力加速度g，忽略星球自轉的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式求解天體質量，從而算出星球的密度；
（2）該星球的近地衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供，該星球表面物體所受重力等于萬有引力，聯(lián)立方程即可求出該星球的第一宇宙速度υ；

解答：解：（1）小球做豎直上拋運動，則
由x=v₀t+

1

2

gt2解得：g=

2v0

t

星球表面的小球所受重力等于星球對小球的吸引力，
則由mg=

GMm

r2

得M=

gR2

G

由于ρ=

M

V

=

gR2 G

4 3 πR3

=

3v0

2πRGt

（2）物體在星球表面附近能做勻速圓周運動，其向心力由星球的吸引力提供，
則由

GMm

R2

=m

v2

R

v=

GM R

=

gR

=

2v0R t

答：（1）該星球的密度由于ρ=

3v0

2πRGt

（2）該星球的第一宇宙速度v═

2v0R t

點評：重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量．本題要求學生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運動其向心力由引力提供．